Приклади розв’язання задач

Приклад 1 Матеріальна точка рухається прямолінійно з прискоренням =5 м/c². Визначити, на скільки шлях, пройдений точкою за -ну секунду, буде більший за шлях, пройдений за попередню секунду (рис.2). Припустити, що =0.

 

Рисунок 2 - Шляхи, що проходить тіло за n, n -1 та n -ну секунди

 

Розв’язання. При рівноприскореному русі шлях, що проходить тіло за будь-який час , у випадку якщо початкова швидкість дорівнює нулю, визначається виразом

. (1)

За n секунд тіло подолало шлях

, (2)

за n -1 секунд

. (3)

Тоді за n -ну секунду тіло пройшло шлях, що дорівнює різниці між цими відстанями (рис.1). Відповідний вираз знайдемо як різницю між співвідношеннями (2) і (3)

. (4)

Аналогічний вигляд має вираз для шляху, що пройдений за (n -1) - шу секунду:

. (5)

Нарешті, знайдемо різницю шляхів:

, (6)

звідси м.

Відповідь: м.

Приклад 2 Матеріальна точка рухається в площині (xy) згідно з рівняннями і де =7 м/с, =-2 м/с =-1 м/с, =0,2 м/с Знайти модулі швидкості і прискорення точки в момент часу =5 с.

Розв’язання. Визначимо проекції швидкості та прискорення на напрямки х та у. Оскільки за визначенням швидкість і прискорення тіла – це відповідно перша і друга похідні за часом від координати, одержимо

,

,

.

Знаючи проекції швидкості і прискорення, легко знайти модулі цих величин (рис.3). Для цього скористаємося теоремою Піфагора

, (7)

. (8)

Після підстановки числових значень величин у співвідношення (7) та (8) отримаємо

 

 

Рисунок 3- Швидкість тіла та її проекції

м/с.

м/с².

Відповідь: u = 13,1 м/с; а = 4,02 м/с².

Приклад 3 Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом , де А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = =-2 рад/ (рис.4). Знайти повне прискорення точки, що знаходиться на відстані r = 0,1 м від осі обертання, для моменту часу t = 4 с.

 

 

Рисунок 4 – Тангенціальне та нормальне прискорення тіла при русі по колу

 

Розв’язання. Повне прискорення а точки, що рухається вздовж кривої лінії, може бути знайдене як геометрична сума тангенціального прискорення , направленого по дотичній до траєкторії, і нормального прискорення , направленого до центру кривини траєкторії (рис.4):

.

Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні, то модуль прискорення дорівнює

. (9)

Модулі тангенціального і нормального прискорення точки тіла, що обертається, визначаються формулами

(10)

де - модуль кутової швидкості тіла; - модуль його кутового прискорення; – відстань від точки до осі обертання. Підставляючи співвідношення (10) у формулу (9), одержимо

. (11)

Кутову швидкість знайдемо, взявши першу похідну від кута повороту тіла за часом

У момент часу t = 4 с модуль кутової швидкості дорівнює

рад/с.

Кутове прискорення знайдемо, узявши першу похідну від кутової швидкості за часом

рад/с².