Кинетическая и потенциальная энергии

Кинетическая энергия W_к механической системы - это энергия механического движения этой системы.

Сила , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает рабо­ту, а энергия движущегося тела возраста­ет на величину затраченной работы. Таким образом, работа δА силы на пути, кото­рый тело прошло за время возрастания скорости от 0 до , идет на увеличение кинетической энергии dW _к тела, т. е.

δА = dW_к.

Используя второй закон Ньютона = m и умножая обе части равен­ства на перемещение , получим

= m .

Так как , то

δA = m d = mυdυ = dW _к,

откуда

.

Таким образом, тело массой m, движущее­ся со скоростью υ, обладает кинетической энергией

W_к = mυ ²/2. (3.5)

Из формулы (3.4) видно, что кинети­ческая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее дви­жения. При выводе формулы (3.4) предпола­галось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать за­коны Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг отно­сительно друга, скорость тела, а следова­тельно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетиче­ская энергия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия W_p - механиче­ская энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характе­ром сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществля­ется посредством силовых полей (напри­мер, поля упругих сил, поля гравитацион­ных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими сила­ми при перемещении тела из одного поло­жения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение прои­зошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля на­зываются потенциальными, а силы, дей­ствующие в них, - консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной;ее примером является си­ла трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией W_p. Работа консервативных сил при элемен­тарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

δA = dW_p. (3.6)

Работа δA выражается как скалярное произведение силы на перемещение и выражение (3.6) можно записать в виде

= - dW_p. (3.7)

Следовательно, если известна функция W_p (), то из формулы (3.7) можно найти силу по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (3.7) как

W_p = + C,

где С - постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной по­стоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциаль­ную энергию тела в каком-то определен­ном положении считают равной нулю (вы­бирают нулевой уровень отсчета), а энер­гию тела в других положениях отсчитыва­ют относительно нулевого уровня.

Для консервативных сил

F_x = - , F_y = - , F_z = - ,

или в векторном виде

= - grad W_p, (3.8)

где

grad W_p = + + (3.9)

(, , - единичные векторы координат­ных осей). Вектор, определяемый выраже­нием (3.9), называется градиентом ска­ляра W_p.

Для него наряду с обозначением grad W_p применяется также обозначение . («на-бла») означает символический вектор, называе­мый оператором Гамильтона или набла-оператором:

+ + . (3.10)

Конкретный вид функции W_p зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, под­нятого на высоту h над поверхностью Зем­ли, равна

W_p = mgh, (3.11)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого W_p = 0. Выражение (3.11) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (ки­нетическая энергия всегда положитель­на!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h '), W_p = - mgh '.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). По третьему закону Ньютона, дефор­мирующая сила F _x равна по модулю силе упругости F _{x упр} и противоположно ей направле­на, т. е.

F _x = - F _{x упр} = kx.

Элементарная работа δA, совершаемая силой F _x при бесконечно малой деформации dx, равна

δA = F _x dx = kxdx,

а полная работа

A = = kx ²/2

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

W_p = kx ²/2. (3.12)

Потенциальная энергия системы, подо­бно кинетической энергии, является функ­цией состояния системы. Она зависит толь­ко от конфигурации системы и ее положе­ния по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия систе­мы - энергия механического движения и взаимодействия:

W = W_к + W_p, (3.13)

т. е. равна сумме кинетической и потен­циальной энергий.

 

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии - результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В.Ломоносову, изложив­шему закон сохранения материи и движе­ния, а количественная формулировка за­кона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером и не­мецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем

(m ₁ + m ₂ +…+ m_n ) = + +… + + + +…+ .

Рассмотрим систему материальных то­чек массами m ₁, m ₂,..., m _n, движущихся со скоростями , ,..., . Пусть , ,..., - равнодействующие внутренних кон­сервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a , ,..., - равнодей­ствующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние некон­сервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из ма­териальных точек, обозначим , ,..., . При u << c массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

m ₁ = + + ,

m ₁ = + + ,

m_n = + + .

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt соверша­ют перемещения, соответственно равные , ,..., . Умножим каждое из урав­нений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что = dt, получим:

m ₁ ,

m ₂ ,

m_n .

Сложив эти уравнения, получим

- = (3.14)

Первый член левой части равенства (3.14)

= = dW_к,

где dW_к есть приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dW_p системы (см. (3.6).

Правая часть равенства (3.11) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем

d (W_к + W_p) = δА. (3.15)

При переходе системы из состояния 1 в ка­кое-либо состояние 2

,

т. е. изменение полной механической энер­гии системы при переходе из одного со­стояния в другое равно работе, совершен­ной при этом внешними неконсервативны­ми силами. Если внешние неконсерватив­ные силы отсутствуют, то из (3.15) следует, что

d (W_к + W_p) = 0,

откуда

W_к + W_p = W = const, (3.16)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (3.16) представляет собой закон сохране­ния механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только кон­сервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела кото­рых действуют только консервативные си­лы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохра­нения механической энергии можно сфор­мулировать так: в консервативных систе­мах полная механическая энергия сохра­няется.

Закон сохранения механической энер­гии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических зако­нов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном паде­нии тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от на­чальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем - диссипативные системы, в которых меха­ническая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассе­яния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоян­ной. Могут происходить лишь превраще­ния кинетической энергии в потенциаль­ную и обратно в эквивалентных количе­ствах, так что полная энергия остается неизменной. Поэтому этот закон не есть просто за­кон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энер­гии, выражающий и качественную сторо­ну взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон со­хранения и превращения энергии - фун­даментальный закон природы, он справед­лив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механи­ческой энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количест­во энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появля­ется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключает­ся физическая сущность закона сохране­ния и превращения энергии - сущность неуничтожимости материи и ее движения.