Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величи­ной, характеризующей быстроту измене­ния скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки тра­ектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени t. За время Δ t движу­щаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от как по модулю, так и направлению и равную . Перенесем вектор в точку А и найдем Δ (рис.1.4).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Δ t на­зывается векторная величина, равная от­ношению изменения скорости Δ к интер­валу времени Δ t:

.

Мгновенным ускорением а (ускорени­ем) материальной точки в момент време­ни называется величина, равная первой производной скорости по времени.

. (1.6)

Размерность угловой скорости - метр за секунду в квадрате (м/с²). Разложим вектор Δ на две составля­ющие. Для этого из точки А (рис.1.4) по направлению скорости у отложим вектор ,по модулю равный . Очевидно, что вектор ,равный Δ , определяет изменение скорости по модулю за время Δ t. Вторая же составляющая вектора Δ характеризует изменение скорости за время Δ t по направлению.

Тангенциальная составляющая уско­рения

a _τ = , (1.7)

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускоре­ния. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А,поэтому Δ s можно считать дугой окружности некоторого радиу­са r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Δ u _n /AB = υ ₁ /r, но так как AB = u Δ t, то

.

В пределе при Δ t получим υ ₁ u. В этом случае угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равно­бедренный, то угол ADE между и Δ стремится к прямому. Следовательно, при Δ t векторы и Δ оказываются взаим­но перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к тра­ектории, то вектор перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускоре­ния, равная

a_n = , (1.8)

называется нормальной составляющей ус­корения и направлена по нормали к тра­ектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометри­ческая сумма тангенциальной и нормаль­ной составляющих (рис.1.5):

= = .

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения дви­жение можно классифицировать следую­щим образом:

1) а_τ = 0, а_n = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2) а_τ = a = const, а_n = 0 - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

υ= υ ₀ + at,

s = υ ₀ t + at ²/2.

3) а_τ = f (t), а_n = 0 – прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) a_τ = 0, а_n = const. При а_n = 0 ско­рость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы а_n = υ ² /r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно движение по окружности является равномерным;

5) а_τ = 0, а_n ≠ 0 – равномерное кри­волинейное движение;

6) а_τ = const, а_n ≠ 0 – криволинейное равнопеременное движение;

7) a_τ = f (t), а_n ≠ 0 – криволинейное движение с переменным ускорением.