Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

Фигуры Лиссажу.

 

Предположим, что материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми частотами.

, .

Траектория результирующего колебания будет зависеть от разности фаз складываемых колебаний. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) , .

 

 

Таким образом, результирующее колебание будет тоже гармоническим с той же частотой и с той же начальной фазой, что и складываемые колебания. Совершается это колебание вдоль прямой S, составляющей угол j с осью Х.

Колебания, при которых траектория движения колеблющейся точки представляет собой прямую линию, называются линейно поляризованными колебаниями

 

2) ,

Пусть (‑p будет тоже самое)

,

;

В этом случае результирующее колебание будет происходить тоже по прямой, но проходит эта прямая через вторую и четвертую четверти.

3)

Пусть

В этом случае результирующее колебание будет происходить по эллипсу. При разности фаз движение происходит по часовой стрелке, а при разности фаз

‑ против часовой стрелки. Колебания, при которых траектория колеблющейся точки представляет собой эллипс, называются эллиптически поляризованными колебаниями.

При А ₁= А ₂ эллипс превращается в окружность, колебания – циркулярно-поляризованные (или поляризованные по кругу)

Таким образом, два взаимно-перпендикулярных колебания с одинаковыми амплитудами и разностью фаз a₂‑a₁= в сумме дают равномерное движение по окружности радиуса А с угловой скоростью w.

Обратно, равномерное движение по окружности может быть разложено на два взаимно-перпендикулярных колебания.

При других значениях разности фаз получаются эллипсы, не приведенные к осям Ох и Оy.

Можно получить формулу в общем виде:

Из этой формулы при соответствующих разностях фаз получаются рассмотренные нами частные случаи.

Если взаимно-перпендикулярные колебания происходят с различными частотами, то в результате сложения получаются траектории более сложной формы, называемые фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот и разности фаз складываемых колебаний.

Рассмотрим частные случаи.

1). x = A ₁cosw t

y = A ₂cos2w t

Da=0

 

Результирующее движение происходит по параболе

 

2). x = A ₁cosw t

y = A ₂cos(2w t + )

Da=

 

Результирующее движение происходит по фигуре изображенной на рис.

Если частота одного из колебаний известна, то по форме фигур Лиссажу можно определить частоту другого колебания. Можно определить также разность фаз.

Если взаимно перпендикулярные колебания происходят с циклическими частотам p ω и q ω, где q и p — целыечисла:

, и .

то значения координат x и y одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени T ₀ равные наименьшему общему кратному периодов и колебаний вдоль осей x и y. Траектории замкнутых кривых, которые получаются в этих случаях, называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рисунке показан вид фигур Лиссажу при трех различных значениях отношения (2:1, 3:2, 4:3) и разности фаз .

 

 

 

Если подать на входы «X» и «Y» осциллографа сигналы близких частот, то на экране можно увидеть фигуры Лиссажу. Этот метод широко используется для сравнения частот двух источников сигналов и для подстройки одного источника под частоту другого. Когда частоты близки, но не равны друг другу, фигура на экране вращается, причем период цикла вращения является величиной, обратной разности частот, например, период оборота равен 2 с — разница в частотах сигналов равна 0,5 Гц. При равенстве частот фигура застывает неподвижно, в любой фазе, однако на практике, за счет кратковременных нестабильностей сигналов, фигура на экране осциллографа обычно чуть-чуть подрагивает. Использовать для сравнения можно не только одинаковые частоты, но и находящиеся в кратном отношении, например, если образцовый источник может выдавать частоту только 5 МГц, а настраиваемый источник — 2,5 МГц.

 

Затухающие колебания

 

Вследствие сопротивления движению колебательная система непрерывно отдает часть энергии среде. Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому при убывании энергии уменьшается и амплитуда колебаний, то есть колебания затухают.

Рассмотрим случай, когда материальная точка совершает прямолинейное колебание в вязкой среде. Тогда сопротивление будет обусловлено вязким трением среды. При малых скоростях сила трения пропорциональна скорости v.

 

, (1)

где r – коэффициент сопротивления.

Кроме этой силы действует упругая сила

(2)

Таким образом, уравнение движения (по II закону Ньютона) имеет вид:

(3)

Введем обозначения:

где b - коэффициент затухания (b>0), w₀ – частота незатухающих колебаний.

(4)

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Для его решения введем новую переменную z:

(5)

Взяв от выражения (5) производные и подставив в дифференциальное уравнение (4) получим:

(6)

Считаем сопротивление среды малым

Тогда

Обозначим:

Тогда уравнение (6) примет вид:

(7)

Это дифференциальное уравнение для гармонических колебаний. Его решением является функция:

(8)

С учетом (5) получим следующее выражение для затухающих колебаний:

(9)

 

‑ амплитуда затухающих колебаний;

‑ период затухающих колебаний;

‑ период незатухающих колебаний, очевидно

Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них значения смещения, скорости, ускорения не повторяются через период. Так что о периоде Т можно говорить лишь условно, как о времени, через которое система проходит через положение равновесия.

Степень затухания характеризуется несколькими величинами – коэффициентом затухания , логарифмическим декрементом затухания , временем релаксации .

 

Логарифм отношения двух последовательных значений амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное периоду T, называется логарифмическим декрементом затухания.

(10)

(11)

Время , в течение, которого амплитуда убывает в e раз, называется временем релаксации

(12)

- коэффициент затухания есть физическая величина обратная времени релаксации.

, где N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз. Следовательно, логарифмический декремент затухания есть физическая величина обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз.

При увеличении коэффициента затухания увеличивается период колебаний

при

.

При наблюдается ситуация критического сопротивления, когда .

При колебания прекращаются: система, выведенная какими-либо силами из положения равновесия, после прекращения действия этих сил возвращается в положение равновесия апериодически. В случае апериодического движения вся механическая энергия колеблющейся системы к моменту ее возвращения в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление трения (при колебательном движении система, возвращаясь в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии, за счет которой и проходит через положение равновесия).

 

 

Рассмотрим реальные колебания тела на пружине. Очевидно, они будет постепенно затухать. Для этого в уравнении колебаний учтем силу трения, которую будем считать пропорциональной скорости тела:

где b называется коэффициентом (вязкого) трения, – коэффициентом затухания.

Конечно, бывают и другие законы трения, но рассмотрим только этот. Пусть трение мало, так что колебания затухают медленно. Энергия будет медленно уменьшаться (переходить в тепло):

 

При малом трении можно взять много периодов колебаний, в каждом из которых кинетическая энергия колеблется вокруг половины полной энергии E, так что

 

Тогда получим

 

Из последнего равенства видно, что энергия колебаний затухает экспоненциально. Поскольку амплитуды скорости и смещения пропорциональны , так что можно записать:

 

К таким же выводам приводит очень простая модель слабого трения. Пусть масса на пружинке, проходя положение равновесия, где скорость V максимальна, всякий раз упруго ударяет малый грузик . Грузик отлетает с удвоенной скоростью 2 V и уносит часть импульса: ; тогда средняя сила за период оказывается пропорциональна скорости V, причем .

Скорость тела после первого удара . После второго удара будет , очевидно после n ударов (периодов) скорость станет равной . Перепишем полученное выражение в виде

.

 

В квадратной скобке получается экспонента. Поэтому или, если выразить и , получим

,

 

Показатель экспоненты из-за грубости модели оказался вдвое больше, чем полученный из усреднения потери энергии, но зависимость аналогичная полученной ранее. Далее можно с помощью интегрирования уравнения для скорости получить уравнение временной зависимости координаты, которое равно

 

.

 

График, соответствующий такому решению приведен на рисунке. Фактически такое колебание можно рассматривать как гармоническое с экспоненциально убывающей амплитудой. При этом называется временем релаксации (затухания), за это время амплитуда уменьшается в e раз. Также при слабом затухании меняется частота по сравнению с частотой незатухающих колебаний – она становится меньше, т. к. .