Работа внешних сил при вращении твердого тела

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной в пространстве оси вращения.

Допустим, что F_i – внешняя сила, приложенная к некоторой элементарной массе ∆m_i твердого тела и вызывающая вращение. За малый промежуток времени элементарная масса переместится на и следовательно силой будет совершена работа

, (2.4.24)

где a – угол между направлением силы и перемещения. Но равняется F _t – проекции силы на касательную к траектории движения массы , а величина . Следовательно

. (2.4.25)

Легко заметить, что произведение является моментом силы относительно заданной оси вращения z и действующим на элемент тела D m_i. Следовательно, работа силы будет равна

. (2.4.26)

Суммируя работу моментов сил, приложенных ко всем элементам тела, получим для элементарно малой энергии, затрачиваемой на элементарно малый поворот тела d j:

, (2.4.27)

где – результирующий момент всех внешних сил, действующих на твердое тело относительно заданной оси вращения z.

Работа за конечный промежуток времени t

. (2.4.28)

Законсохранения момента импульса и изотропность пространства

 

Законсохранения момента импульса является следствием основного закона динамики вращательного движения. Всистеме из п взаимодействующих частиц (тел) векторная сумма всех внутренних сил, а следовательно и моментов сил, равна нулю, и дифференциальноеуравнение моментов имеет вид

, (2.4.29)

где – полный момент импульса всей системы, – результирующий момент внешних сил.

Если система замкнута

, (2.4.30)

откуда следует

, (2.4.31)

что возможно при

. (2.4.32)

Законсохранения момента импульса: Момент импульсазамкнутой системы частиц (тел) остается постоянным.

Законсохранения момента импульса является следствием свойства изотропности пространства, которое проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора направлений осей координат инерциальных систем отсчёта.

В замкнутой системе три физические величины: энергия, импульс и момент импульса (являющиеся функциями координат и скоростей) сохраняются. Такие функции называются интегралами движения. В системе из п частиц существует 6 n –1 интегралов движения, но свойством аддитивности обладают лишь три из них – энергия, импульс и момент импульса.

Гироскопический эффект

Массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии, называется гироскопом.

Гироскоп, будучи приведен во вращение, стремится сохранить направление своей оси неизменным в пространстве, что является проявлением закона сохранения момента импульса. Гироскоп тем более устойчив, чем больше угловая скорость вращения и чем больше момент инерции гироскопа относительно оси вращения.

Если же к вращающемуся гироскопу приложить пару сил, стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной к оси вращения гироскопа, то он станет поворачиваться, но только вокруг третьей оси, перпендикулярной первым двум (рис. 21). Этот эффект называется гироскопическим эффектом. Возникающее при этом движениеназывается прецессионным движением или прецессией.

 

 

 

 

Прецессирует любое тело, вращающееся вокруг некоторой оси, если на него действует момент сил, перпендикулярный оси вращения.

Примером прецессионного движения может служить поведение детской игрушки, которая называется волчком или юлой. Прецессирует также Земля под действием гравитационного поля Луны. Момент сил, действующий на Землю со стороны Луны, определяется геометрической формой Земли – отсутствием сферической симметрии, т.е. с ее «сплюснутостью».

 

Гироскоп*

Рассмотрим прецессионное движениеподробнее. Такое движениереализует массивный диск, насаженный на вертикальную ось вокруг, которой он вращается. Диск обладает моментом импульса , направленным по оси вращения диска (рис. 22).

У гироскопа, основным элементом которого является диск D, вращающийся со скоростью вокруг горизонтальной оси ОО ' возникнет вращающий момент относительно точки C и моментом импульса направлен по оси вращения диск D.

Ось гироскопа шарнирно закреплена в точке C. Прибор снабжен противовесом К. Если противовес установлен так, что точка C является центром масс системы (m – масса гироскопа; m ₀ – масса противовеса К; масса стержня пренебрежимо мала), то без учёта трения запишем:

(2.4.33)

то есть результирующий момент сил, действующий на систему, равен нулю.

Тогда справедлив закон сохранения момента импульса :

. (2.4.34)

Иными словами, в этом случае const; где J – момент инерции гироскопа, – собственнаяугловая скорость вращения гироскопа.

 

 

 

Поскольку момент инерции диска относительно его оси симметрии есть величина постоянная, то вектор угловой скорости также остается постоянным как по величине, так и по направлению.

Вектор направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Таким образом, ось свободного гироскопа сохраняет своё положение в пространстве неизменным.

Если к противовесу К добавить еще один с массой m ₁, то центр масс системы сместится и возникнет вращающий момент относительно точки C. Согласно уравнению моментов, . Под действием этого вращающего момента вектор момента импульса получит приращение , совпадающее по направлению с вектором :

(2.4.35)

Векторы сил тяжести и направлены вертикально вниз. Следовательно, векторы , и , лежат в горизонтальной плоскости. Спустя время момент импульса гироскопа изменится на величину и станет равен

. (2.4.36)

Таким образом, вектор изменяет своё направление в пространстве, всё время оставаясь в горизонтальной плоскости. Учитывая, что вектор момента импульса гироскопа направлен вдоль оси вращения, поворот вектора на некоторый угол da за время dt означает поворот оси вращения на тот же угол. В результате ось симметрии гироскопа начнет вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси ВВ ' с угловой скоростью:

. (2.4.37)

Такое движениеназывается регулярной прецессией, а величина – угловой скоростью прецессии. Если в начальный момент ось ОО ' гироскопа установлена не горизонтально, то при прецессии она будет описывать в пространстве конус относительно вертикальной оси. Наличие сил трения приводит к тому, что угол наклона оси гироскопа будет постоянно изменяться. Такое движениеносит название нутации.

Выясним зависимость угловой скорости прецессии гироскопа от основных параметров системы. Спроецируем равенство (123) на горизонтальную ось, перпендикулярную ОО'

. (2.4.38)

Из геометрических соображений (см. рис. 22) при малых углах поворота , тогда , и угловая скорость прецессии выражается:

. (2.4.39)

Это означает, что если прикладывать к гироскопу постоянную внешнюю силу, то он начнет поворачиваться вокруг третьей оси, не совпадающей по направлению с основной осью вращения ротора.

Прецессия, величина которой пропорциональна величине действующей силы, удерживает устройство, ориентированное в вертикальном направлении, причем может быть измерен угол наклона относительно опорной поверхности. Однажды раскрученное устройство стремится сопротивляться изменениям в его ориентации вследствие углового момента. Этот эффект известен в физике также как гироскопическая инерция. В случае прекращения внешнего воздействия прецессия мгновенно заканчивается, но ротор продолжает вращаться.

На диск действует сила тяжести , вызывающая момент силы относительно точки опоры O. Этот момент направлен перпендикулярно оси вращения диска и равен

, (2.4.40)

где l₀ – расстояние от центра тяжестидиска до точки опоры O.

На основании основного закона динамики вращательного движения момент силы вызовет за интервал времени dt изменение момента импульса

. (2.4.41)

Векторы и направлены по одной прямой и перпендикулярны к оси вращения.

Из рис. 22 видно, что конец вектора за время dt переместится на угол

. (2.4.42)

Подставив в это соотношение значения L, dL и М, получим

. (2.4.43)

Таким образом, угловая скорость смещения конца вектора :

(2.4.44)

и верхний конец оси вращения диска будет описывать окружность в горизонтальной плоскости (рис. 21). Подобное движениетела называется прецессионным, а сам эффект гироскопическим эффектом.

 

 

 

ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Реальные тела не являются абсолютно упругими, поэтому при рассмотрении реальных задач приходится учитывать возможность изменения их формы в процессе движения, т. е. учитывать деформации. Деформация — это изменение формы и размеров твердых тел под действием внешних сил.

Пластическая деформация — это деформация, которая сохраняется в теле после прекращения действия внешних сил. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму.

Все виды деформаций (растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сдвиг) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения (или сжатия) и сдвига.

Напряжение σ — физическая величина, численно равная упругой силе , приходящейся на единицу площади сечения тела (измеряется в Па):

 

.

 

Если сила направлена по нормали к поверхности, то напряжение нормальное, если — по касательной, то напряжение тангенциальное.

Относительная деформация — количественная мера, характеризующая степень деформации и определяемая отношением абсолютной деформации Δ x к первоначальному значению величины x, характеризующей форму или размеры тела: .

Так,

— относительное изменение длины l стержня (продольная деформация) ε:

 

.

 

— относительное поперечное растяжение (сжатие) ε′, где d — диаметр стержня.

 

.

 

Деформации ε и ε′ всегда имеют разные знаки: ε′ = −με где μ — положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона.

Для малых деформаций относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ:

 

где E — коэффициент пропорциональности (модуль упругости), численно равный напряжению, которое возникает при относительной деформации, равной единице.

Для случая одностороннего растяжения (сжатия) модуль упругости называется модулем Юнга. Модуль Юнга измеряется в Па.

Записав , получим — закон Гука:

удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе (здесь k — коэффициент упругости). Закон Гука справедлив только при малых деформациях.

В отличие от коэффициента жесткости k, являющимся свойством только тела, модуль Юнга характеризует свойства вещества.

 

У любого тела, начиная с некоторого значения , деформация перестает быть упругой, становясь пластической. Пластичные материалы – материалы, которые не разрушаются при напряжении, значительно превышающем предел упругости. Благодаря свойству пластичности металлы (алюминий, медь, сталь) можно подвергать различной механической обработке: штамповке, ковке, изгибу, растяжению. При дальнейшем увеличении деформации материал разрушается.

Предел прочности – максимальное напряжение, возникающее в теле до его разрушения.

 

Различие в пределах прочности при сжатии и растяжении объясняется различием процессов взаимодействия молекул и атомов в твердых телах при этих процессах.

Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через E и μ.

 

 

Многочисленные опыты показывают, что при малых деформациях напряжение прямо пропорционально относительному удлинению ε (участок ОА диаграммы) – выполняется закон Гука.

Эксперимент показывает, что малые деформации полностью исчезают после снятия нагрузки (наблюдается упругая деформация). При малых деформациях выполняется закон Гука. Максимальное напряжение, при котором еще выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности σ_п. Он соответствует точке А диаграммы.

Если продолжать увеличивать нагрузку при растяжении и превзойти предел пропорциональности, то деформация становится нелинейной (линия ABCDEK). Тем не менее, при небольших нелинейных деформациях после снятия нагрузки форма и размеры тела практически восстанавливаются (участок АВ графика). Максимальное напряжение, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации, называется пределом упругости σ_уп. Он соответствует точке В диаграммы. Предел упругости превышает предел пропорциональности не более чем на 0,33%. В большинстве случаев их можно считать равными.

Если внешняя нагрузка такова, что в теле возникают напряжения, превышающие предел упругости, то характер деформации меняется (участок BCDEK). После снятия нагрузки образец не принимает прежние размеры, а остается деформированным, хотя и с меньшим удлинением, чем при нагрузке (пластическая деформация).

За пределом упругости при некотором значении напряжения, соответствующем точке С диаграммы, удлинение возрастает практически без увеличения нагрузки (участок CD диаграммы почти горизонтален). Это явление называется текучестью материала.

При дальнейшем увеличении нагрузки напряжение повышается (от точки D), после чего в наименее прочной части образца появляется сужение («шейка»). Из-за уменьшения площади сечения (точка Е) для дальнейшего удлинения нужно меньшее напряжение, но, в конце концов, наступает разрушение образца (точка К). Наибольшее напряжение, которое выдерживает образец без разрушения, называется пределом прочности ‑ σ_пч (оно соответствует точке Е диаграммы). Его значение сильно зависит от природы материала и его обработки.

 

Рассмотрим деформацию сдвига. Для этого возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы, направленные параллельно этим граням. Если действие сил будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани S, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение

.

 

При малых деформациях объем тела практически не изменится, а деформация состоит в том, что «слои» параллелепипеда сдвигаются относительно друг друга. Поэтому такая деформация называется деформацией сдвига.

 

 

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый угол . При этом будет выполняться соотношение

,

 

где ‑ модуль сдвига, который зависит только от свойств материала тела.

Деформация сдвига относится к однородным деформациям, т. е. когда все бесконечно малые элементы объема тела деформированы одинаковы.

Однако есть неоднородные деформации – изгиба и кручения.

 

Возьмем однородную проволоку, закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающую силу, создающую вращающий момент М относительно продольной оси проволоки. Проволока закрутится – каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол . Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения записывается в виде

,

где ‑ постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. В отличие от предыдущих модулей, зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

 

Так для проволоки в виде трубки с известными внутренним r ₁ и внешним r ₂ радиусами и длиной l:

.

 

Соответственно для проволоки в виде сплошного цилиндра

 

.

Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания тяжелого тела, подвешенного к нижнему концу проволоки. Эти колебания будут гармоническими с периодом , где ‑ момент инерции тела.