Лекции.Орг


Поиск:




Энергия гармонических колебаний




Рассмотрим теперь, как выражается энергия гармонического колебательного движения.

Совершая колебания, материальная точка обладает скоростью, а, следовательно, и кинетической энергией

Так как точка в различных положениях имеет разную скорость, то, следовательно, ее кинетическая энергия меняется со временем. Очевидно, что при этом происходит переход кинетической энергии в потенциальную. Если потерь энергии нет (колебания незатухающие), то полная энергия при этом должна оставаться постоянной.

Потенциальная энергия измеряется работой внешних сил, которая совершена для того, чтобы вызвать определенное смещение x.

 

;

 

;

 

.

 

Тогда полная энергия будет равна:

 

.

 

Таким образом, Ek и Ep сдвинуты относительно друг друга по фазе на π/2, т. е. изменяются в противофазе. Также Ek и Ep изменяются с частотой 2ω, т. е. с частотой в два раза превышающей частоту самого гармонического колебания.

 

 


Сложение колебаний одинакового направления

 

Рассмотрим геометрический способ представления колебаний с помощью вектора амплитуды.

Из точки О под углом a отложим вектор, численно равный амплитуде. Будем вращать этот вектор с угловой скоростью wпротив часовой стрелки. В некоторый момент t угол станет wt+a, а проекция вектора А:

 

x = А cos(w t +a)

 

Следовательно, проекция вектора амплитуды на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, круговой частотой равной угловой скорости вращения вектора и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент вращения.

Часто приходится иметь дело с таким движением, при котором тело участвует одновременно в двух или нескольких колебаниях. Например, груз на пружине подвешен к потолку рессорного вагона.

Рассмотрим, какое результирующее движение получается при сложении колебаний.

Рассмотрим два колебания одинакового направления и одинаковой частоты, происходящих с некоторой разностью фаз и имеющих разные амплитуды.

 

x 1= А 1cos(w t +a1),

 

x 2= А 2cos(w t +a2).

 

Cмещение x при участии тела одновременно в обоих колебаниях выразится алгебраической суммой смещений x 1 и x 2

 

x = x 1+ x 2= А 1cos(w t +a1)+ А 2cos(w t +a2).

 

Выполним данное сложение графически. Представим оба колебания с помощью векторов амплитуды А 1 и А 2. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А. Из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций слагаемых векторов.

 

x = x 1+ x 2.

 

Векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью w. Следовательно, угол между ними все время остается постоянным и равным a2-a1. Следовательно, результирующий вектор будет иметь постоянную величину и очевидно будет вращаться с той же угловой скоростью. Таким образом, результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой w, амплитудой А и начальной фазой a.

x = A cos(w t +a).

Амплитуду А и начальную фазу a можно найти из чертежа.

,

.

 

Амплитуда результирующего колебания А зависит от разности фаз (a2‑a1 ) слагаемых колебаний.

Следовательно,

Если a2‑a1=2kp,где k=0,1,2… то А = А1 + А2 (рис.3)

Если a2‑a1=2(k+1)p, где k=0,1,2… то (рис.4)

 

 
 


Биения

 

Когда складываемые колебания имеют одинаковое направление, но разные частоты, то результирующее колебание не будет гармоническим.

Разность фаз будет равна

Тогда амплитуда результирующего колебания запишется в виде:

То есть амплитуда будет меняться во времени с частотой (w2 ‑ w1).

Частным случаем сложения колебаний с различными частотами являются так называемые биения, то есть, колебания, возникающие при сложении двух одинаково направленных колебаний с мало отличающимися частотами.

Получим уравнение для биений, считая для простоты амплитуды и начальные фазы складываемых колебаний одинаковыми.

 

А 1 = А 2, a1 = a2 =0;

Dw<<w

 

Из этой формулы видно, что результирующее колебание можно приближенно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой A ’(t). Однако, строго говоря, это не гармоническое колебание, а амплитудно-модулированное колебание.

 

 
 

.

На рис.1 приведен график биений, где ‑ период колебаний, а ‑ период биений (период изменения амплитуды).





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-18; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 782 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Либо вы управляете вашим днем, либо день управляет вами. © Джим Рон
==> читать все изречения...

823 - | 678 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.007 с.