Условия равновесия механической системы

Зная вид функции, выражающей потенциальную энергию системы, можно сделать ряд заключений о характере поведения системы. Особенно наглядно это можно сделать в случае одномерного движения тела, т. е. движения, описываемого одной координатой (например, координатой х). График зависимости потенциальной энергии от аргумента U = U (x) называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

Будем рассматривать только консервативные системы, т. е. системы, в которых превращения механической энергии в другие виды энергии отсутствуют, т. е. когда справедлив закон сохранения энергии.

Из анализа графика на рис. 18 приходим к выводу, что при полной энергии тела, равной Е, тело не может сместиться правее х ₂ и левее х ₁, так как кинетическая энергия K не может быть отрицательной величиной и, следовательно, потенциальная энергия U не может быть больше полной. В таком случае говорят, что тело находится в потенциальной яме с координатами х ₁£ х £ х ₂.

В точке с координатой х ₀ потенциальная энергия частицы минимальна. В этой точке действующая на частицу сила F _x = - d U /d x = 0. При смещении частицы из положения х ₀ влево или вправо на нее действует возвращающая сила. Поэтому положение х ₀ является положением устойчивого равновесия.

В общем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (рисунок 19). Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е - заданная полная энергия частицы, то частица может находиться только там, где U (x) £ E, т. е. в областях I (х ₁ £ х £ х ₂) и III (х ³ х ₃).

Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьер в области II (х ₂ £ х £ х ₃), ширина которого равна интервалу значений х, при которых Е < U, а высота – определяется разностью (U _max – Е).Для того, чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I частица с полной энергией Е оказывается «запертой» в потенциальной яме и совершает колебания между точками с координатами x ₁ и x ₂.

 

 

I II III

 

 

В точке с координатой x ₀ (рис. 19) потенциальная энергия частицы минимальна. Так как действующая на частицу сила F _x = - d U /d x (U - функция только одной координаты), а условие минимума потенциальной энергии d U /d x = 0, то в точке с координатой x ₀ сила F_x (x ₀) = 0. При смещении частицы из положения x ₀ (и влево, и вправо) она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение x ₀ является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки x ₀¢ (для U _max). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия,так как при смещении частицы из положения x ₀¢ появляется сила, стремящаяся отклонить ее от этого положения.

Движение тел с переменной массой*

Вклассической механике масса движущегося тела может изменяться лишь вследствие присоединения к телу или отделения от него материальных частиц или частей тела. В результате этого

.

Уравнение поступательного движения тела переменной массы (уравнение Мещерского) имеет вид:

, (2.2.7)

где m, – масса и скорость тела в рассматриваемый момент времени,

– результирующая внешняя сила,

– скорость отделяющихся частиц (частей) после отделения (если ), или присоединяющихся частиц до присоединения (если ),

– относительная скорость отделяющихся или присоединяющихся частиц, т.е. их скорость относительно тела.

Реактивная сила

. (2.2.8)

В случае движения ракеты, когда , а , связь между скоростью ракеты и ее массой выражается формулой Циолковского:

, (2.2.9)

где m ₀ – начальная масса ракеты.

Из формулы Циолковского ясно, что, чем больше скорость истечения газов реактивной струи ракетного двигателя относительно ракеты , тем большую скорость может приобрести ракета.

Максимальная (характеристическая) скорость ракеты равна:

, (2.2.10)

где – начальная масса топлива.

 

Реактивное движение

 

Реактивным называется движение с изменяющейся массой.

Рассмотрим движение ракеты. Пусть в момент времени t масса ракеты m (t) и скорость . Импульс ракеты . Через промежуток времени d t масса ракеты изменилась и стала (m‑ d m), скорость , количество движения Также надо учесть количество движения порции газа . Приращение количества движения равно импульсу внешней силы:

,

 

учтем добавочное условие d m = d m _газ. Раскрывая скобки, имеем:

 

.

 

 

 

Пренебрегая членом второго порядка малости и учитывая добавочное условие d m = d m _газ, имеем . Окончательно получаем уравнение Мещерского:

 

,

 

в этом уравнении , скорость истечения струи газа относительно ракеты.

Если представить ракету и струю газа как замкнутую систему, то получим уравнение Циолковского

.

 

Это уравнение легко решается в предположении, что скорость газа и скорость ракеты направлены вдоль одной прямой в противоположных направлениях, т. е.: .

В этом случае

 

; .

 

Константа определяется из начальных условий: при t = 0, v = 0, m = m ₀.

 

.

 

Последнее соотношение позволяет оценить запас топлива, необходимый для достижения заданной скорости.