Дополнительные свойства пространства и времени в С.Т.О.

 

Отметим общие свойства пространства и времени, подтвержденные опытными фактами и не зависящие от рассматриваемых теоретических моделей: пространство является однородным и изотропным, а время является однородным.

Общие свойства пространства и времени остаются и в С.Т.О., поэтому преобразования Лоренца как и преобразования Галилея, будут линейными по координатам и времени. Добавится только коэффициент α, учитывающий второй постулат С.Т.О. и зависящий от скорости движения тела и скорости света в вакууме.

Итак, запишем преобразования Лоренца:

 

(1)

 

Коэффициент α можно найти следующим образом: в начальный момент времени t =0 из начала координат систем отсчtта К и К ' (точки О и О ') посылаем световой сигнал. Из второго постулата С.Т.О. для координаты точки, которой достиг сигнал, можно записать x=ct, x'=ct' и поэтому:

Формулы для преобразования времени в (1) можно получить из выражений для преобразования координат. Действительно

При малых скоростях движения тел υ <<c коэффициент α→1 и поэтому преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Поэтому говорят, что классическая механика – это механика малых скоростей движения тел, а релятивистская механика – механика скоростей движения тел, близких к скорости света в вакууме. Релятивистская механика включает в себя как частный случай (υ <<c) классическую механику.

Из формул для преобразования времени (1) следуют дополнительные свойства пространства и времени в С.Т.О.: 1) в формулы для преобразования времени входят координаты, это означает, что пространство и время как две формы существования материи существуют в неразрывном единстве, они взаимосвязаны друг с другом; 2) из формул (1) следует, что t ≠ t ′, т. е. время течет по разному в разных ИСО.

Эти свойства пространства и времени приводят к необычным с обычной точки зрения эффектам как в кинематике, так и в динамике.

 

КИНЕМАТИКА СТО

 

Пусть в С.О. К' происходят одновременно (t ′₁ = t ′₂) два события в разных точках пространства (x ′₁ = x ′₂). Необходимо выяснить, будут ли эти события одновременными в С.О. К, т.е. чему равняется разность времен (t₂-t₁)?

Для ответа на этот вопрос используем преобразования Лоренца и распишем t ₁ = t ₂:

т. е. эти события не будут одновременными в С.О. К. Следовательно, понятие одновременности двух событий является относительным – события, происходящие одновременно в одной ИСО, не будут одновременными в других ИСО.

Только в частном случае x ′₁ = x ′₂ события будут одновременными во всех ИСО. В классической механике υ <<c и поэтому t₂=t₁, т. е. понятие одновременности двух событий является абсолютным – они будут одновременными во всех ИСО.

Пусть в С.О. К' вдоль оси О 'х' располагается неподвижный стержень, длина которого может быть найдена как разность координат его концов l ′= x ₁− x ′₂ (рис.). Необходимо определить длину этого стержня в С.О. К, относительно которой он движется со скоростью υ.

Для определения длины l стержня используем преобразования Лоренца и укажем метод определения длины l движущегося стержня: необходимо в С.О. К одновременно зафиксировать координаты концов стержня (t₁ = t₂),в результате чего можно получить

(2)

 

В формуле (2) через l₀ обозначена собственная длина стержня, это длина стержня в той ИСО, относительно которой он неподвижен (в рассматриваемом случае l₀=l'). Собственная длина предмета является инвариантом С.Т.О. Из формулы (2) следует, что: 1) при движении предметов происходит сокращение продольных, направленных вдоль скорости, размеров предметов; поперечные, перпендикулярные к скорости движения, размеры тел не изменяются; 2) собственная длина предмета l₀ является наибольшей из всех возможных длин предмета.

Итак, понятие «длина» предмета является относительным, т. е. зависит от выбора ИСО. В классической механике υ<< c и поэтому понятие «длины предмета» является абсолютным, одинаковым во всех ИСО.

Таким образом, в неподвижной системе происходит сокращение линейных размеров в направлении скорости перемещения стержня .

Следует отметить, что такое сокращение длины не связано с какими-то деформациями. Оно обусловлено тем, что одновременная фиксация концов движущегося тела покоящимся наблюдателем является неодновременной в другой ИСО. Поперечные размеры движущихся тел при этом остаются неизменными.

С лоренцевым сокращением длины связано большое число парадоксов и мысленных экспериментов. Уместно будет в качестве иллюстрации привести пример (рис. 4.10). Бегун с шестом длиной l пробегает через сарай той же длины так, чтобы шест все время оставался параллельным земле (отрезки AP и BQ равны). Согласно выводам СТО, бегуну сарай кажется сократившимся, следовательно, шест будет длиннее сарая и не поместится в нем. Наблюдателю же, находящемуся в сарае, сократившимся покажется шест, следовательно, в некоторый момент времени шест удастся целиком поместить в сарае.

 

б). Длительность событий в разных системах.

Предположим, что в некоторой точке А с координатой x в системе К происходит некоторое событие, длительность которого равна

где t ₁ – момент начала события, t ₂ – момент окончания события.

Чему будет равна длительность этого события для наблюдателя находящегося в системе К ’?

 

(3)

 

Отсюда видно, что длительность события, происходящего в некоторой точке А, минимальна в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка А неподвижна.

Время t, отсчитанное по часам, находящимся в той системе, относительно которой точка А неподвижна, (или иначе говорят, по часам движущимся вместе с телом) называется собственным временем этой системы. Как видно из полученной формулы , собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам в движущейся системе отсчета.

Этот релятивистский эффект замедления времени получил непосредственное подтверждение в опытах с m-мезонами, элементарными частицами, входящими в состав космических лучей. Они быстро распадаются, среднее время жизни неподвижного m-мезона равно Мезоны возникают в атмосфере на высоте 20-30 км и значительном количестве достигают поверхности Земли. Но исходя из времени жизни мезон даже двигаясь со скоростью света мог бы пролететь всего . Чем же объяснить, что они достигают поверхности Земли? - это время жизни неподвижного мезона. Если он двигается, то в системе отсчета движущейся вместе с ним он будет оставаться неподвижным и время его жизни будет тем же самым, то есть - это собственное время жизни мезона. Время же по часам экспериментатора, связанного с Землей, оказывается гораздо больше, . Так как скорость мезонов близка к скорости света, то и за это время они успевают достигнуть поверхности Земли.

Вследствие релятивистского эффекта замедления времени и на космическом корабле течение времени должно замедляться. Поэтому длительность космического полета по часам космонавтов будет меньше длительности этого полета, измеренного по часам на Земле. Но этот эффект может оказаться значительным и наблюдаемым только если удастся осуществить полеты космических кораблей со скоростями близкими к скорости света.

Другой пример иллюстрирует относительность порядка следования событий (рис.). Предположим, что в точках A и B, находящихся на расстоянии l друг от друга, последовательно через промежуток времени D t вспыхивают две звезды (сначала в точке A, а затем в точке B). Приемник излучения находится в точке 1 на расстоянии L от звезды B (рис. 4.6, а).

В момент вспышки звезды B излучение от звезды распространяется на расстояние c D t. Если это расстояние меньше расстояния между звездами, то интервал времени между вспышками меньше времени, необходимого для распространения света между ними,

 

В этом случае излучение от звезды B достигнет приемника раньше, чем от звезды A. Поэтому наблюдатель 1 полагает, что последовательность событий была обратной: звезда B зажглась раньше, чем звезда A. В случае, когда приемник излучения находится в точке 2 (рис. 4.6, б), излучение от звезды A при тех же условиях достигнет приемника раньше, чем от звезды B. Наблюдатель 2 поэтому считает, что звезда A зажглась раньше, чем звезда B. Если промежуток времени между событиями (вспышками звезд) меньше времени, необходимого для распространения света между ними, то порядок следования событий остается неопределенным, зависящим от положения наблюдателя.

Важно отметить, что свойство замедления времени – это свойство самого времени, т. е. замедляются не только световые часы, а все физические процессы, в том числе и химические реакции в человеческом организме. Соответственно замедляется процесс старения космических путешественников. Этот вывод приводит к удивительному парадоксу близнецов: вернувшийся из космического путешествия близнец стареет гораздо меньше, чем его брат, оставшийся на Земле.

Предположим, что возраст близнецов А и В до начала путешествия 20 лет (рис. 4.9). Близнец В направляется со скоростью v = 0,99 c к звезде Арктур, находящейся на расстоянии 40 световых лет от Земли (световой год – расстояние, которое свет проходит за год).

1 св. год = с × T = 3×10⁸ (365× 24×3600) = 9, 46×10¹⁵ м.

 

Согласно измерениям близнеца, оставшегося на Земле, путешествие брата займет на 1 % больше времени, чем требуется свету для преодоления расстояния от Арктура и обратно (80 лет). Это объясняется тем, что скорость путешествия близнеца В на 1 % меньше скорости света. Возраст близнеца А к моменту возвращения брата В составит

20 + 80, 8 = 100, 8 лет.

 

На ракете часы идут медленнее в g раз

Поэтому для близнеца В время космического путешествия составит

80,8/7,09=11,4 года

Возраст близнеца В при его возвращении на Землю

20 +11, 4 = 31, 4 года.

Парадокс близнецов был дважды проверен экспериментально в 1971 и 1980 гг.: одни цезиевые часы находились в полете вокруг Земли на реактивном самолете со скоростью 1000 км/ч, а другие оставались в обсерватории на Земле. При приземлении самолета показания часов сравнивались. Например, в опытах Д. Хафеля и Р. Китинга в 1971 г. часы отставали от земных на (59 ±10) нс, если самолет летел на восток, и опережали земные на (273 ± 70) нс, если самолет летел на запад.

 

в) закон преобразования скоростей.

Для продольной скорости

Для поперечной скорости

из приведенных выражений для скоростей следует, что ни при каких значениях складываемых скоростей суммарная скорость не может быть больше скорости света.

В теории относительности такие абсолютные понятия с точки зрения классической механики как длина, время, масса становятся относительными.

Одной из абсолютных величин, не зависящих от системы отсчета, в теории относительности является скорость света в вакууме. Другой абсолютной величиной является так называемый интервал S ₁₂ между событиями 1 и 2, квадрат которого определяется как

 

 

где t ₁₂ – промежуток времени между событиями, l ₁₂ – расстояние между двумя точками, в которых происходят события ().

В инвариантности интервала можно легко убедиться, вычислив его непосредственно в системах отсчета К и К ’. Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (обозначив в них ) и учитывая, что , запишем:

Как видно, формула для интервала имеет одинаковый вид в системах К и К ’, то есть интервал является абсолютной величиной.