Гармонические колебания. Динамика колебательного движения

Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной степенью свободы. Пусть тело массой т укреплено на пружине, упругость которой k. В отсутствие сил трения на тело, выведенное из положения равновесия, действует упругая сила пружины . Тогда по второму закону динамики имеем:

или .

Если ввести обозначение , то уравнение можно переписать в следующем виде:

Это и есть дифференциальное уравнение свободных колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция вида или . Величина является циклической частотой Период колебаний пружинного маятника:

. (3).

Математический маятник ‑ это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол a, такой, чтобы выполнялось условие , на тело будет действовать возвращающая сила . Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Так как , то сила равна . Сила пропорциональна смещению, следовательно, под действием этой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания. Обозначим , где , имеем: или . Отсюда период колебаний математического маятника: .

Физическим маятником может служить любое тело, которое колеблется относительно оси, не проходящей через центр тяжести. Расстояние между осью колебаний и центром тяжести а. Уравнение движения в этом случае запишется , или для малых значений угла φ: . В итоге имеем уравнение гармонических колебаний с частотой и периодом . В последнем равенстве ввели приведенную длину физического маятника , чтобы сделать формулы для физического и математического маятников идентичными.

В лабораторных исследованиях часто используется крутильный маятник, позволяющий измерять момент инерции твердых тел с высокой точностью. Для таких колебаний момент в довольно широких пределах пропорционален углу закручивания φ:

,

где ‑ модуль кручения. Это уравнение тождественно уравнению, полученному для физического маятника. Значит, тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом

.

Для колебаний можно использовать несколько способов описания колебательного процесса.

1. Описание колебаний через явное задание функции x (t) называется аналитическим. Например, аналитическое выражение x (t)= A cos(ω t +φ₀) описывает гармоническое колебание.

2. Другой способ описания колебания – экспоненциальный, в котором колебательный процесс задается с помощью комплексной функции вида

,

величина A, стоящая перед экспонентой, будет постоянной и вещественной, то вещественная часть Z и мнимая часть Z будут описывать некоторые гармонические колебания и . В общем случае величина A может быть функцией времени и колебания окажутся не гармоническими.

3. Третий способ описания колебаний – с помощью уравнения фазовой траектории; он связан с изображением колебательных процессов на фазовой плоскости.

Каждому способу описания колебательного процесса соответствует свой способ изображений колебаний.

1) С помощью x (t) -диаграммы – кривой, изображающей процесс на координатной плоскости;

2) С помощью векторных диаграмм. Колебания представляют собой проекции вращающегося с угловой скоростью ω вектора :

;

,

В общем случае вектор может сам быть функцией времени.