Колебания, которые возникают в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называются свободными или собственными колебаниями. Рассмотренные ранее незатухающие и затухающие колебания являются свободными колебаниями.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания.
Вынужденными называются колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (эта сила называется вынуждающей силой).
Рассмотрим простейший случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону
(1)
Частота 
не равна частоте собственных колебаний системы. Поскольку в системе возникают колебания, то должна иметься ещё упругая сила (или квазиупругая).
(2)
В общем случае может присутствовать еще и сила трения, которая приводит к затухающим колебаниям. Но для упрощения задачи предположим вначале, что сил трения нет. Итак, на систему действует 2 силы - вынуждающая и сила упругости.
По второму закону Ньютона
Обозначим: 
, где 
- частота собственных колебаний системы
(3)
Это неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения представляет собой гармонические колебания. Они важны только в начальной стадии процесса, а затем устанавливаются вынужденные колебания, которые описываются частным решением неоднородного уравнения. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только это решение. Решение будем искать в виде
(4)
то есть, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы.
(5)
Подставим (4) и (5) в (3)
, 
(6)
Это выражение дает амплитуду вынужденных колебаний. Подставив (6) в (4) получим уравнение вынужденных колебаний
(7)
Из формулы (6) видно, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частоты вынуждающей силы и частоты собственных колебаний системы.
Исследуем эту зависимость в частных случаях.
1) 
В этом случае колебания не совершаются и смещение равно статической деформации под действием постоянной силы F 0.
2) 
Из (6) видно, что в этом случае 
. Это связано с тем, что при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.
3) 
При этом 
Таким образом, при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний системы 
амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом, а частота 
называется резонансной частотой.
Для упрощения решения мы пренебрегли силой трения. При учете сил трения амплитуда при резонансе уже не будет стремиться к бесконечности, а будет иметь конечное значение. При этом чем больше силы трения, то есть чем больше коэффициент затухания 
, тем меньше амплитуда при резонансе, то есть явление резонанса проявляется слабее.
Кроме того, при учете сил трения формула для резонансной частоты будет иметь следующий вид:
.
Отсюда видно, что с увеличением коэффициента затухания частота 
уменьшается, то есть положение максимума при резонансе смещается в область меньших частот.
Явление резонанса широко используется в радиотехнике (настройка приемника), акустике. Ряд оптических явлений (например, аномальная дисперсия) связан с резонансом.
В различных сооружениях и машинах, подвергающихся периодически изменяющимся нагрузкам, резонанс весьма опасен. Он может вызвать их разрушение вследствие значительного возрастания амплитуды колебания. При проектировании машин и сооружений это следует учитывать.
На практике для экспериментального отыскания собственных частот колебаний той или иной конструкции или какой-то ее детали проводят на специальных вибростендах резонансные испытания: плавно изменяют частоту ω вынуждающей силы (например, изменяя угловую скорость вращения электромоторов, используемых в качестве вибраторов) и снимают резонансную кривую для исследуемого объекта. Частоты, которым на резонансной кривой соответствуют максимумы, — это собственные частоты колебаний данного объекта.
В качестве примера на рисунке приведена экспериментальная резонансная кривая — зависимость от частоты ω вынуждающей силы амплитуды колебаний конца крыла некоторого авиалайнера. Частота ω представлена в единицах с–1, амплитуда колебаний — в произвольных единицах. Приведенная резонансная кривая выявляет девять собственных резонансных частот крыла авиалайнера: они обозначены через ω1, ω2, ω3, …, ω9
Преобразования Галилея
В классической механике, при скоростях тел значительно меньших, чем скорость света (V << c), справедлив механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему K (с координатами x, y, z), которую будем считать неподвижной, и систему 
(с координатами x ', y ', z '), движущуюся относительно K равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью 
.
В начальный момент времени начала координат O и 
этих систем совпадают. В произвольный момент времени t: 
.
Для произвольной точки A: 
. Или в проекциях на оси координат:
; 
; 
.
Эти соотношения называются преобразованиями координат Галилея.
Продифференцировав их по времени получим правило сложения скоростей в классической механике:
.
В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, поэтому к преобразованиям Галилея можно добавить еще одно соотношение:
.
Ускорение в системах отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково:
.
Это и служит доказательством принципа относительности Галилея.
Принцип относительности Галилея является следствием опытных фактов и утверждает равноправие всех ИСО по отношению к происходящим в них механическим явлениям. Приведем различные эквивалентные формулировки этого принципа относительности:
1) никакими механическими опытами, находясь внутри ИСО, нельзя установить движется она равномерно и прямолинейно или покоится;
2) все законы механики выглядят, записываются одинаково во всех ИСО;
3) все механические явления протекают одинаково во всех ИСО;
4) все законы механики инвариантны относительно преобразований Галилея.
Под инвариантной величиной понимают величину, принимающую одинаковое значение во всех ИСО. Под инвариантной формулой понимают формулу, которая записывается одинаково во всех ИСО.
