Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения

 

Механическое движение всегда относительно, поскольку положение тела в пространстве можно определить только по отношениюк какому-либо другому телу, которое можно рассматривать в качестве тела отсчета. С телом отсчета жестко связывают систему координат, позволяющую определить координаты тела в различные моменты времени. Тело отсчета вместе с системой координат называют системой отсчета. Механическое движение всегда наблюдают (рассматривают) в той или иной системе отсчета, при этом одно и то же движение выглядит по-разному в разных системах отсчета.

Тело отсчета — произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение остальных тел.

Система отсчета — совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета.

Наиболее употребительная система координат — прямоугольная (декартовая), т. е. ортонормированный базис которой образован тремя единичными по модулю и взаимно ортогональными векторами , проведенными из начала координат.

Тогда положение точки в пространстве можно описать двумя способами:

1) векторным, т. е. задать радиус-вектор . Радиус-вектором называется вектор, проведенный из начала координат в точку пространства, где в данный момент времени находится материальная точка;

2) координатным ‑ задать три координаты: x, y, z (рис. 1).

Рис. 1

Положение точки А характеризуется радиус-вектором

,

где – единичные векторы (орты), совпадающие с положительными направлениями соответствующих осей; – проекции радиус-вектора и одновременно координаты материальной точки.

Модуль радиус-вектора определяется выражением

 

.

 

Движение материальной точки полностью определено, если декартовы координаты материальной точки заданы как функции времени:

 

; ; .

 

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки. Они эквивалентны одному векторному уравнению движения точки:

 

.

 

Вектор перемещения — вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени). Тогда вектор перемещения материальной точки из точки A в точку B определяется формулой (рис. 2)

Модуль вектора перемещения

 

 

Линия, описываемая движущейся материальной точкой (или телом) относительно выбранной системы отсчета называется траекторией. Уравнение траектории можно получить, исключив параметр t из кинематических уравнений. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Длиной пути точки называется сумма длин всех участков траектории, пройденных этой точкой за рассматриваемый промежуток времени . Длина пути является скалярной функцией времени. Величины и совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

В пределе Δ t →0 длина пути по хорде Δ S и длина хорды будут все меньше отличаться от пути, поэтому: .

 

 

Рис. 2

 

Скорость

 

Скорость — это векторнаявеличина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Вектором средней скорости(перемещения) за интервал времени Δ t называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени Δ t

 

.

Направлениевектора средней скорости совпадает с направлением . Единица скорости — м/с.

Средней (путевой) скоростью называется отношение пройденного точкой пути к времени движения

.

Средняя путевая скорость является скаляром.

Мгновенная скорость — это векторная величина, равная первой производной по времени от радиуса-вектора рассматриваемой точки:

 

,

 

где – проекции вектора мгновенной скорости на оси , , , соответственно. Данная скорость является основной физической величиной, определяющей характер и направление движения.

Модуль вектора мгновенной скорости

 

.

 

Вектор мгновенной скорости направлен по касательнойк траектории в сторону движения. Модуль мгновенной скорости (скалярнаявеличина) равен первой производной пути по времени.

.

 

Из этой формулы получается важное следствие: .

Длина пути S, пройденного точкой за промежуток времени от t ₁ до t ₂, задается интегралом: /

При прямолинейном движении точки направление вектора скорости сохраняется неизменным. Движение точки называется равномерным, если модуль ее скорости не изменяется с течением времени (v = const), для него

 

.

 

Если модуль скорости увеличивается с течением времени, то движение называется ускоренным, если же он убывает с течением времени, то движение называется замедленным.

 

 

Ускорение

Ускорение — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Среднее ускорение в интервале времени Δ t — векторная величина, равная отношению изменения скорости Δυ к интервалу времени Δ t:

 

.

 

Мгновенным ускорением материальной точки называется векторная величина, определяемая следующим выражением:

 

,

где – проекции ускорения на оси , , , соответственно.

Единица ускорения — м/с².

Модуль вектора мгновенного ускорения

 

.

 

Легко показать, что мгновенное ускорение является второй производной от радиус-вектора

.

 

В общем случае вектор мгновенного ускорения тоже может быть функцией времени , тогда вводятся в рассмотрение производные по времени более высокого порядка, например

.

 

Поскольку во многих случаях направление вектора ускорения заранее неизвестно, вектор ускорения удобно представить в виде векторной суммы

 

.

 

В этом случае вектор мгновенного ускорения называют полным ускорением. Тогда называется нормальным (центростремительным) ускорением и определяется следующим образом:

,

 

где – радиус кривизны траектории в данной точке, численно равный радиусу окружности, которая сливается с траекторией на бесконечно малом ее участке; – единичный вектор нормали, направленный к центру кривизны.

Модуль вектора нормального ускорения

.

Нормальное ускорение направлено по нормали к траектории к центру ее кривизны O и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки.

Второе слагаемое полного ускорения называется тангенциальным ускорением

,

где – единичный вектор, связанный с движущейся точкой и направленный по касательной к траектории по вектору скорости .

Модуль вектора тангенциального ускорения

.

Тангенциальноеускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю (рис. 4). Вектор тангенциального ускорения может быть как сонаправлен с вектором мгновенной скорости (равноускоренное движение), так и противоположен ей (равнозамедленное движение). Очевидно, если – движение ускоренное; – движение замедленное.

 

Модуль вектора полного ускорения при криволинейном движении

.

 

 

Рис. 4. Направление векторов ускорения и скорости

 

Покажем как величина нормального ускорения связана со скоростью υ движения по кругу и величиной радиуса R (рис. 5, а и б).

 

 

 

Рис. 5

Для этого возьмем на траектории движения две близко расположенные точки 1 и 2, разделенные интервалом времени Δ t (рис. 5,а). Перенесем вектор υ₂ параллельно самому себе в точку 1 и, отложив на нем отрезок, равный по модулю вектору υ₁, получим точку 3 (рис. б). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух векторов . При Δ t→ 0 углы α и β стремятся соответственно к 0° и 90°, поэтому вектор , направленный по касательной к траектории, будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор будет перпендикулярен к . Следовательно,

 

(1)

 

Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 и 2 (рис. 5, а) при малых Δ t→ d t будут равны d l 1,2 = d S _1,2 = v d t. Из подобия треугольников Δ1 0 2 (рис. 1.3 а) и Δ1 v ₁3 (рис. 5, б) следует

, .

 

Радиус кривизны траектории представляет собой радиус окружности, которая совпадает с ней на данном участке траектории на бесконечно малом ее участке. Центр такой окружности называют центром кривизны для данной точки кривой. Если элемент участка траектории равен D S, то радиус кривизны траектории в данной точке определяют выражением:

,

 

где ‑ угол, в пределах которого заключен участок траектории D S. При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует, так как при этом радиус кривизны R ®¥. Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной:

 

Рис. 6. Примеры различных радиусов кривизны траектории

 

Основной задачей кинематики является определение состояния материальной точки (ее радиус-вектора и скорости в произвольный момент времени t). Для этого необходимо, задать, во-первых, начальные условия – радиус-вектор и скорость в начальный момент времени t = t ₀и, во-вторых, зависимость ускорения от времени t. Тогда, используя понятия интеграла, для и можно записать следующие выражения:

 

, ; ,

 

, , .

 

Рассмотрим конкретный вид приведенных уравнений для некоторых частных случаев движения материальной точки.

1. Равнопеременное движение – это движение тела с постоянным ускорением (). При выборе начального момента времени t ₀равным нулю, получим:

 

;

 

. (2)

 

Формулы (2) позволяют, например, описать движение брошенного под углом к горизонту тела без учета сил сопротивления воздуха () при его движении по параболической траектории.

Векторная запись уравнений (2) оказывается удобной в силу ее «компактности» записи, однако, при решении конкретных задач, особенно в случае трехмерного движения, эти уравнения превращаются в систему из шести проекционных уравнений следующего вида:

 

2. Равнопеременное прямолинейное движение (; ) будет наблюдаться в тех случаях, когда векторы ускорения и начальной скорости будут либо параллельны друг к другу, либо направлены в противоположные стороны, либо вектор будет равен нулю: . В этих случаях проекция уравнений (1) на ось OX, направленную вдоль линии движения тела, приводит к следующим выражениям:

 

;

 

.