Мгновенное угловое ускорение

 

Вектор мгновенного углового ускорения определяется уравнением

 

.

Проекция вектора углового ускорения на ось вращения

 

.

 

Вектор мгновенного углового ускорения является псевдовектором. Единица измерения углового ускорения – рад/с².

Вектор углового ускорения может быть как сонаправлен (равноускоренное движение), т. е. направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости, так и противоположен вектору угловой скорости (равнозамедленное движение).

 

Среднее угловое ускорение

 

Вектор и модуль среднего углового ускорения определяются следующим образом:

;

.

Уравнения кинематики вращательного равнопеременного движения

;

.

Поскольку векторы направлены вдоль оси вращения , то выбрав направление оси вдоль вектора начальной скорости , можно записать

;

 

.

 

Знак учитывает ситуации равноускоренного или равнозамедленного движения, соответственно.

Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками при вращении по окружности радиусом в скалярной форме задается уравнениями:

 

; ;

 

;

 

;

 

.

Теперь запишем более «строгие» векторные соотношения, учтя, что . Тогда получим векторные формулы связи угловых и линейных скоростей:

 

.

Таким образом, в векторной форме формула связи линейной и угловой скорости определяется с помощью векторного произведения:

.

 

По определению векторного произведения его модуль равен , где ‑ угол между векторами и , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Более «строгие» векторные равенства угловых и линейных ускорений записываются следующим образом:

 

 

;

 

.

 

При равномерном вращении: , следовательно . В этом случае равномерное вращение (прежде всего в технике) можно характеризовать периодом вращения T – временем, за которое точка совершает один полный оборот, .

Еще одна важная техническая характеристика – частота вращения – это число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени: . Единица измерения частоты вращения – герц (Гц).

 

Рис. 9.

Понятия периода вращения Т и частоты n вращения можно использовать и в случае неравномерного вращения. Тогда под мгновенным значением Т следует понимать то время, за которое точка совершала бы один оборот, если она вращалась равномерно с данным значением угловой скорости, а под n, понимая то число оборотов, которое совершала бы точка за единицу времени при аналогичных условиях.

 

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Законы Ньютона

 

Ранее рассматривалось движение тел (материальных точек) вне зависимости от причин, его вызывающих. Соответствующий раздел назывался кинематикой. Теперь перейдем к динамике – это раздел механики, в котором движение тел изучается в связи с вызывающими его причинами – силами.

Основные законы динамики были сформулированы в 80-х годах XVII века И. Ньютоном в виде трех законов.

Сформулируем первый закон Ньютона: «Материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние».

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции. Первый закон Ньютона постулирует (определяет) существование инерциальных систем отсчета – таких, относительно которых, материальная точка, не подверженная воздействию других тел, движется равномерно и прямолинейно.

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Для описания инерционных свойств тел вводятся понятие массы, измеряемой в (кг).

Силой называется физическая величина, характеризующая воздействие одного тела (или нескольких тел) на другое тело или систему тел. Сила – величина векторная.

Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе, трении, давлении друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами. Взаимодействие тел, находящихся на удалении друг от друга, современная наука объясняет с привлечением понятия поля. Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физическим полем или просто полем. Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством связанных с ними гравитационных и электромагнитных полей. Каждой силе всегда соответствует какое-то определенное тело или поле, действующее с этой силой.

Сила полностью задана, если указаны ее модуль, направлениев пространстве и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Центральными называются силы, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку ‑ центрсил, и зависят только от расстояния до центра сил. Поле, действующее на материальную точку с силой F, называется стационарным полем, если оно не изменяется с течением времени.

Принцип суперпозиции сил: Если к материальной точке приложено несколько сил , то их действие можно заменить действием одной силы, называемой равнодействующей и представляющей собой векторную сумму данных сил,

.

Таким образом, одновременное действие на материальную точку нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей, или результирующей, силой и равной их геометрической сумме. Единица силы‑ ньютон (Н).

Механической системой называется совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. Тела, не входящие в состав исследуемой механической системы, называются внешними телами. Силы, действующие на систему со стороны внешних тел, называются внешними силами. Внутренними силами называются силы взаимодействия между частями рассматриваемой системы.

Механическая система называется замкнутой, или изолированной системой, если она не взаимодействует с внешними телами (на нее не действуют внешние силы).

Тело называется свободным, если на его положение и движение в пространстве не наложено никаких ограничений, и ‑ несвободным ‑ если на его возможные положения и движения наложены те или иные ограничения, называемые в механике связями. Несвободное тело можно рассматривать как свободное, заменив действие на него тел, осуществляющих связи, соответствующими силами. Эти силы называются реакциями связей, а все остальные силы, действующие на тело, ‑ активными силами.

Плотностью тела ρ в данной его точке M называется отношение массы d m малого элемента тела, включающего точку M, к величине d V объема этого элемента: .

Чаще всего в динамике рассматривают однородные тела, т. е. такие, у которых плотность в любой точке одинакова. Однако в реальном теле очень часто это требование не выполняется и .

Векторная величина , равная произведению массы m материальной точки на ее скорость , и имеющая направление скорости, называется импульсом, или количеством движения, этой материальной точки:

.

 

Теперь сформулируем второй закон Ньютона: «Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела)»:

,

где – результирующая всех сил, действующих на точку; – ускорение, приобретаемое материальной точкой. Второй закон Ньютона является основным законом динамики поступательного движения, поскольку отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Уравнение динамики поступательного движения материальной точки можно также записать, используя понятие импульса

,

 

где – импульс точки. Данное уравнение оказывается справедливым и в релятивистской динамике.

Импульс силы – это векторная физическая величина, равная произведению силы на время действия данной силы. Если тело находилось в течение короткого промежутка времени (такого, чтобы сила не успела существенно измениться) под действием силы , то второй закон Ньютона можно сформулировать следующим образом: изменение количества движения тела равно импульсу силы, действующей на тело, и происходит в направлении действия силы

,

где – импульсы тела в начале и в конце движения, соответственно.

Импульс силы позволяет записать второй закон Ньютона в самом общем виде:

 

.

 

Основной закон динамики материальной точки выражает принцип причинности в классической механике ‑ однозначная связь между изменением с течением времени состояния движения и положения в пространстве материальной точки и действующие на нее силой, что позволяет, зная начальное состояние материальной точки, вычислить ее состояние в любой последующий момент времени.

Третий закон Ньютона: «Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия; силы с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки». Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике произвольной системы материальных точек, поскольку позволяет свести любое взаимодействие к силам парного взаимодействия между материальными точками.

При использовании законов динамики иногда допускают следующую ошибку: так как действующая сила всегда вызывает равную по модулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно, их равнодействующая должна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Однако надо помнить, что во втором законе Ньютона речь идет об ускорении, приобретаемом телом под действием приложенных к нему сил. Равенство нулю ускорения означает равенство нулю равнодействующей сил, приложенных к одному и тому же телу. Третий же закон Ньютона говорит о равенстве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух взаимодействующих тел действует только одна сила, которая и сообщает данному телу ускорение.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Третий закон Ньютона строго выполняется в случае контактных взаимодействий (т. е. при непосредственном соприкосновении тел), а также при взаимодействии посредством поля находящихся на некотором расстоянии покоящихся тел.

 

Силы в механике

 

В природе существует много разных видов сил, но все они в конечном счете сводятся к небольшому числу фундаментальных (основных) взаимодействий. Современная физика считает, что в природе существует лишь четыре вида сил или четыре вида взаимодействий:

1) гравитационное взаимодействие (осуществляется через гравитационные поля);

2) электромагнитное взаимодействие (осуществляется через электромагнитные поля);

3) ядерное (или сильное) (обеспечивает связь частиц в ядре);

4) слабое (отвечает за процессы распада элементарных частиц).

В механике встречаются три типа сил:

1) силы взаимного притяжения между телами, называемые гравитационными силами (частный случай таких сил – сила тяжести);

2) силы, обусловленные деформацией соприкасающихся тел. Они называются упругими силами. К ним относятся: сила, действующая на тело со стороны растянутой или сжатой пружины; сила, с которой нить действует на привязанный к ней груз (сила натяжения нити); сила, с которой поверхность действует на лежащий груз (сила реакции опоры), и т. д.;

3) силы, возникающие при соприкосновении тел, но обусловленные только явлениями, происходящими непосредственно около поверхности соприкосновения. К ним относятся силы трения.

Рассмотрим перечисленные силы подробнее.

Сила гравитационного притяжения двух материальных точек:

 

,

где – гравитационная постоянная, Н×м²/кг²; и – массы точек; – расстояние между точками. Вектор силы гравитационного притяжения направлен по прямой, соединяющей взаимодействующие точки.

Сила тяжести вблизи поверхности Земли (частный случай гравитационной силы):

,

где – ускорение свободного падения; – масса Земли; – радиус Земли.

В данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Однако оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси и отличием экваториального и полярного радиусов Земли (соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с². А Землю принимают за однородный шар постоянного радиуса R.

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой.

Вес тела – это сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие притяжения к планете. Вес тела равен силе тяжести только тогда, когда тело покоится или движется равномерно и прямолинейно вверх или вниз. Таким образом, сила тяжести действует всегда, а вес тела проявляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы.

В случае ускоренного движения опоры (например, лифта, везущего груз) уравнение движения (с учетом того, что сила реакции опоры равна по величине весу, но имеет противоположный знак ): Þ . Если движение происходит вверх , вниз: . Если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то . Если тело свободно движется в поле тяготения (в этом случае на тело действует только сила тяготения) по любой траектории и в любом направлении, то , т. е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе. При свободном падении тела его вес также равен нулю, т. е. оно находится в состоянии невесомости.

Сила упругости (упруго деформированного) тела (закон Гука) возникает в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией. Примером такой силы является сила упругости деформации пружиныпри растяжении или сжатии. Упругая сила пропорциональна смещению частицы из положения равновесия и направлена к положению равновесия:

,

где – коэффициент упругости; – вектор упругой деформации. Вектор упругой силы направлен в сторону, противоположную вектору упругой деформации.

В случае твердых тел различают два предельных случая: упругие деформации и пластические деформации. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными). Характер деформации (упругая или пластическая) зависит как от материала тела, так и от величины внешнего воздействия.

Силы трения возникают благодаря существованию сил взаимодействия между молекулами и атомами соприкасающихся тел. Силы терния: а) возникают при соприкосновении двух движущихся тел; б) действуют параллельно поверхности соприкосновения; г) направлены против движения тела.

Трение между поверхностями твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки или смазки называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким или жидким. Различают три вида сухого трения: трение покоя, трение скольжения и трение качения.

Сила трения покоя – это сила, действующая между соприкасающимися телами, находящимися в состоянии покоя. Она равна по величине и противоположно направлена силе, понуждающей тело к движению: ; , где – коэффициент трения покоя.

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого и направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого. Максимальную силу трения скольжения по модулю можно определить по формуле

,

где – коэффициент трения скольжения; – сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. По третьему закону Ньютона сила нормального давления равна по модулю силе реакции опоры (). Вектор силы трения скольжения направлен в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого. Коэффициент трения скольжения зависит от материала тел, состояния поверхностей и от относительной скорости движения тел. Сила трения зависит не только от свойств поверхностей, но и от относительной скорости движения (рис. 10).

 

Рис. 10. Зависимость силы трения скольжения от относительной скорости

 

При качении тела по поверхности другого возникает сила трения качения, которая препятствует качению тела. Сила трения качения при тех же материалах соприкасаемых тел всегда меньше силы трения скольжения. Этим пользуются на практике, заменяя подшипники скольжения шариковыми или роликовыми подшипниками. Для тела, катящегося по поверхности с трением, силу трения качения можно вычислить по формуле

,

где – коэффициент трения качения, имеющий размерность длины; – радиус катящейся поверхности.

Коэффициент трения качения много меньше коэффициента трения скольжения. Например, для стального колеса железнодорожного вагона, движущегося по рельсам равен 0,001. Это значение в 400 раз меньше соответствующего коэффициента трения скольжения (сталь - сталь). С другой стороны, коэффициент трения качения автомобильной шины по бетону равен 0,01 при скорости 40 км/ч. В итоге потери мощности на трение шин о покрытие дороги превосходят потери мощности на преодоление сопротивления воздуха.

Упругие силы и силы трения определяются характером взаимодействия между молекулами вещества, которое имеет электромагнитное происхождение, следовательно, они по своей природе имеют электромагнитные происхождения. Гравитационные и электромагнитные силы являются фундаментальными – их нельзя свести к другим, более простым силам. Упругие силы и силы трения не являются фундаментальными.

Когда тело движется в не которой среде, нужно учитывать силы со стороны этой сред, действующие на тело. Учет этих сил часто бывает крайне затруднительным, поэтому обычно выделяют несколько видов таких сил.

Силы жидкого, или вязкого трения возникают при движении тела в жидкости или газу, если относительная скорость движения не превосходит некоторого предела, зависящего от размера и формы тела, от состояния его поверхности, а также от свойств самой среды.

Сила вязкого трения (сопротивления) действует на тело при его поступательном движении в газе или жидкости. Эта сила зависит от скорости тела относительно среды и направлена противоположно вектору скорости

,

где – положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды. В общем случае этот коэффициент зависит от скорости, однако, при малых скоростях его можно считать постоянным.

Отличительной чертой жидкого трения является то, что в этом случае нет силы трения покоя. Как бы ни была мала внешняя сила, действующая на тело, она обязательно вызовет его движение. Поэтому даже один человек в состоянии сдвинуть с места корабль и тащить его с постоянной скоростью (хотя и очень малой). Однако, сдвинуть железнодорожный вагон, который гораздо легче корабля, человек не сможет.

Силы вязкого трения зависят от относительной скорости движения. Причем с увеличением скорости линейная зависимость модуля силы меняется на квадратичную, или даже кубическую:

.

Зачастую подобную зависимость выражают следующим образом:

.

 

Сила Архимеда ‑ на тело, погруженное в однородную жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх и равная

,

где – масса вытесненной среды; – плотность вытесненной среды; – объем вытесненной телом среды.

Давление ‑ физическая скалярная величина, равная модулю силы (сжимающей), действующей по нормали на поверхность единичной площади ,

.

 

 

 

Закон сохранения импульса

Любое тело (или совокупность тел) представляет собой, по существу, систему материальных точек или частиц. Если система с течением времени изменяется, то говорят, что изменяется ее состояние. Состояние системы характеризуется одновременным заданием положений (координат) и скоростей всех ее частиц.

Зная законы действующих на частицы системы сил и состояние системы в некоторый начальный момент времени, можно, как показывает опыт, с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее поведение, т. е. найти состояние системы в любой момент времени. Так, например, решается задача о движении планет Солнечной системы.

Однако детальное рассмотрение поведения системы с помощью уравнений движения часто бывает настолько затруднительно (например, из-за сложности самой системы), что довести решение до конца представляется практически невозможным. А в тех случаях, когда законы действующих сил вообще неизвестны, такой подход оказывается в принципе неосуществимым. Кроме того, существует ряд задач, в которых детальное рассмотрение движения отдельных частиц просто и не имеет смысла (например, описание движения отдельных молекул газа).

В связи с этим возникает вопрос: нет ли каких-либо общих принципов, являющихся следствием законов Ньютона, которые позволяют упростить решение многих практических задач?

Оказывается, такие принципы есть. Это законы сохранения. Как уже было сказано, при движении системы ее состояние изменяется со временем. Однако существуют такие величины, характеризующие состояние системы, которые обладают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во времени. Среди этих сохраняющихся величин наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса. Эти три величины обладают важным свойством – аддитивностью: их значение для системы, состоящей из частей, равно сумме значений каждой из частей в отдельности. Энергия обладает этим свойством в случае отсутствия заметного взаимодействия между частями системы, а импульс и момент импульса – и при наличии взаимодействия. Свойство аддитивности и придает этим трем величинам особую роль.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса связаны с фундаментальными свойствами времени и пространства. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени, а законы сохранения импульса и момента импульса - соответственно с однородностью и изотропностью пространства. Однородность времени означает, что все моменты времени эквивалентны и физические законы не изменяются со временем, т.е. не зависят от начала отсчета времени. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого её физические законы и законы движения не изменяются (не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета). Изотропность пространства означает одинаковость свойств пространства по всем направлениям, т.е. независимость физических законов от выбора направления координат системы отсчета.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса представляют собой универсальные законы природы, характерные и для элементарных частиц, и для космических объектов. Они лежат в основе современной физики.