Основные теоремы операционного исчисления

Теорема подобия

Пусть и . В этом случае

. (3.1.) Доказательство. . Сделаем замену:

тогда , или .

Из формулы (3.1) следует, что увеличению независимой переменной оригинала в раз,

соответствует уменьшение в раз как независимой переменной изображения, так и самого изображения.

Теорема запаздывания

Определение. Функция, , где некоторая постоянная величина, называется функцией запаздывающего аргумента (относительно функции , (рис.3.1)).

Обозначим функцию через . (Если t − время, то функция описывает процесс с запаздыванием на время τ)

 

Рис. 3.1.

Зная изображение функции , можно найти изображение функции , пользуясь формулой .

Так как , имеем:

Применяя подстановку , (при , и , ), имеем

.

Таким образом: , то есть

 

Теорема смещения

Если функция является оригиналом, то при любом вещественном или комплексном оригиналом будет являться и функция , так как из оценки

вытекает при .

Найдем изображение этой функции

.

Интеграл в правой части последнего равенства отличается от интеграла Лапласа, определяющего изображения лишь тем, что в последнем аргумент изображения заменен на .

Таким образом, если , то .

Пример.

 

Изображения основных элементарных функций

Приведём таблицу изображений основных элементарных функций, которые были получены в предыдущих разделах в качестве примеров, либо их обобщений. Напомним, что все функции удовлетворяют условиям, сформулированным в пункте 2.1.

 

, , , ,

;

, ,

,

Приведём ещё несколько свойств оригиналов и изображений, используемых как для определения изображений, так и для восстановления оригиналов.

Теорема свертывания

Определение. Сверткой двух функций и называется функция , определяемая формулой .

(Операцию получения свертки часто называют свертыванием двух функций).

Если в интеграле заменить , (, ; , ) то формула примет вид:

или ,

т.е. функции и , входящие в свертку, равноправны.

Поставим теперь задачу выразить изображение свертки через изображения и свертываемых функций и .

Теорема. Изображение свертки двух функций равно произведению их изображений.

Если , а , то , или .

Доказательство. Определим изображение функции :

,

Причем областью интегрирования является часть первого координатного угла, ограниченная прямыми и (рис. 4.1).

 

 

Рис. 4.1.

 

Изменим порядок интегрирования в полученном интеграле.

(т.к. и .)

Таким образом, или

Пример. Найти оригинал , зная его изображение: .

Решение. Обозначим: и ,

По теореме умножения функций

.

Итак: , т.е.

.

Проверим:

, что и требовалось доказать.

 

 

Теоремы разложения

Теоремы разложения применяются для нахождения оригинала , когда известно изображение . Каждая из этих теорем справедлива лишь при определенных частных условиях, накладываемых на изображение . Однако классы функций, удовлетворяющих этим условиям, являются весьма широкими; вычисления же, связанные с применением теорем разложения, настолько просты, что использование этих теорем при решении многих конкретных задач оказывается весьма эффективным.

Первая теорема разложения

Предположим, что данное изображение может быть разложено в ряд по степеням :

, (5.1)

сходящийся при .

Если к каждому отдельному члену этого ряда применить операционное соотношение:

,

то оригинал определяется формулой:

. (5.2)

Пример. разлагается в ряд:

По первой теореме разложения

.

Вторая теорема разложения

Для того, чтобы найти оригинал функции , изображение которой заданно дробно-рациональной функцией

,

(степень числителя меньше степени знаменателя), разлагаем изображение на элементарные дроби, после чего находим оригинал каждой дроби.

Пример.

,

.

Получим: .

Запишем оригинал:

.

 

3.6.3. Третья теорема разложения

Если изображением искомой функции служит функция комплексного аргумента, регулярная справа от прямой , а на этой прямой и слева от нее не имеющая других особенностей, кроме конечного множества полюсов и существенно особых точек, то оригиналом для этой функции служит функция , определяемая по формуле

. (5.3)

Пример.

- полюс 2-го порядка, - полюсы 1-го порядка.

.

.

.

.