Теорема подобия
Пусть 
и 
. В этом случае 
. (3.1.) Доказательство. 
. Сделаем замену: 
тогда 
, или 
.
Из формулы (3.1) следует, что увеличению независимой переменной оригинала в 
раз,
соответствует уменьшение в раз как независимой переменной изображения, так и самого изображения.
Теорема запаздывания
Определение. Функция, 
, где 
некоторая постоянная величина, называется функцией запаздывающего аргумента (относительно функции 
, (рис.3.1)).
Обозначим функцию 
через 
. (Если t − время, то функция 
описывает процесс с запаздыванием на время τ)
Рис. 3.1.
Зная изображение функции , можно найти изображение 
функции 
, пользуясь формулой 
.
Так как 
, имеем:
Применяя подстановку 
, (при 
, 
и 
, 
), имеем
.
Таким образом: 
, то есть 
Теорема смещения
Если функция является оригиналом, то при любом вещественном или комплексном 
оригиналом будет являться и функция 
, так как из оценки
вытекает 
при 
.
Найдем изображение этой функции
.
Интеграл в правой части последнего равенства отличается от интеграла Лапласа, определяющего изображения лишь тем, что в последнем аргумент изображения 
заменен на 
.
Таким образом, если , то 
.
Пример. 
Изображения основных элементарных функций
Приведём таблицу изображений основных элементарных функций, которые были получены в предыдущих разделах в качестве примеров, либо их обобщений. Напомним, что все функции удовлетворяют условиям, сформулированным в пункте 2.1.
, 
, 
, 
, 
; 
, 
,
, 
Приведём ещё несколько свойств оригиналов и изображений, используемых как для определения изображений, так и для восстановления оригиналов.
Теорема свертывания
Определение. Сверткой двух функций 
и 
называется функция , определяемая формулой 
.
(Операцию получения свертки часто называют свертыванием двух функций).
Если в интеграле заменить 
, (
, 
; 
, 
) то формула примет вид: 
или 
,
т.е. функции и , входящие в свертку, равноправны.
Поставим теперь задачу выразить изображение свертки через изображения 
и 
свертываемых функций и .
Теорема. Изображение свертки двух функций равно произведению их изображений.
Если , а , то 
, или 
.
Доказательство. Определим изображение функции :
,
Причем областью интегрирования является часть первого координатного угла, ограниченная прямыми и 
(рис. 4.1).
Рис. 4.1.
Изменим порядок интегрирования в полученном интеграле.
(т.к. 
и 
.)
Таким образом, или
Пример. Найти оригинал , зная его изображение: 
.
Решение. Обозначим: 
и 
,
По теореме умножения функций 
.
Итак: 
, т.е.
.
Проверим:
, что и требовалось доказать.
Теоремы разложения
Теоремы разложения применяются для нахождения оригинала , когда известно изображение . Каждая из этих теорем справедлива лишь при определенных частных условиях, накладываемых на изображение . Однако классы функций, удовлетворяющих этим условиям, являются весьма широкими; вычисления же, связанные с применением теорем разложения, настолько просты, что использование этих теорем при решении многих конкретных задач оказывается весьма эффективным.
Первая теорема разложения
Предположим, что данное изображение может быть разложено в ряд по степеням :
, (5.1)
сходящийся при 
.
Если к каждому отдельному члену этого ряда применить операционное соотношение:
,
то оригинал определяется формулой:
. (5.2)
Пример. 
разлагается в ряд:
По первой теореме разложения
.
Вторая теорема разложения
Для того, чтобы найти оригинал функции 
, изображение которой заданно дробно-рациональной функцией
,
(степень числителя меньше степени знаменателя), разлагаем изображение на элементарные дроби, после чего находим оригинал каждой дроби.
Пример. 
,
.
Получим: 
.
Запишем оригинал:
.
3.6.3. Третья теорема разложения
Если изображением искомой функции служит функция комплексного аргумента, регулярная справа от прямой 
, а на этой прямой и слева от нее не имеющая других особенностей, кроме конечного множества полюсов и существенно особых точек, то оригиналом для этой функции служит функция , определяемая по формуле
. (5.3)
Пример. 
- полюс 2-го порядка, 
- полюсы 1-го порядка.
.
.
.
.
