Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Функции комплексной переменной.

1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.

Определение1. Комплексным числом называется выражение z = x + i y, где , а i называется мнимой единицей и определяется следующим образом: . Число x называется

действительной частью комплексного числа: x = Re z, y – мнимой частью: y = Im z.

Два комплексных числа и называются равными, если их

действительные и мнимые части, соответственно, равны друг другу: .

Таким образом, одно комплексное равенство эквивалентно двум действительным.

Комплексное число z = x + i y равно нулю, если x = y = 0.

Суммой и произведением двух комплексных чисел называются комплексные числа

соответственно.

Операции вычитания и деления определяются как действия обратные сложению и умножению,

что приводит к следующему результату:

.

Таким образом, арифметические операции над комплексными числами производятся по обычным правилам действий с двучленами, с учетом того, что . Отсюда следует, что операции над комплексными числами подчинены обычным законам арифметики: коммутативности, ассоциативности и т.д.

Комплексные числа заполняют всю плоскость XOY, которую называют в этом случае комплексной плоскостью. Множество комплексных чисел, обычно, обозначают буквой

Определение 2. Число называется комплексно сопряженным к z.

Определение 3. Величина называется модулем комплексного числа.

Т.е. mod z равен расстоянию от начала координат до т. z. Нетрудно видеть, что

Примеры: 1) 2) Последовательность .

Замечание. На множестве комплексных чисел не определено отношение ‘больше – меньше’. Комплексные числа можно сравнивать между собой только по модулю.

 

Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.

В предыдущем параграфе было рассмотрено представление комплексных чисел в декартовой системе координат. Рассмотрим теперь комплексные числа в полярных координатах. Как известно, декартовы координаты выражаются через полярные следующим образом:

 

y

Отсюда получаем: −

M(x, y) = M(r, φ) тригонометрическая форма комплексного числа.

.

r φ Здесь:

x

Рис. 1 φ – аргумент комплексного числа: φ = arg z.

Рассматривается два стандарта изменения φ: .

Иногда приходится пользоваться понятием Arg z

Ясно, что величина самого комплексного числа при этом никак не изменяется.

Формулы для стандарта -π < φ ≤ π имеют вид:

(Для стандарта: 0 ≤ φ < 2 π формулы будут немного отличаться)

Аргумент числа z = 0 не определен.

Примеры: − 2; i; 1 − i . {2, π; 1, π/2; 2, −π/3 или 5π/3 }

 

Рассмотрим произведение 2-х комплексных чисел: z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂()() =

=

Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент – сумме аргументов. Отсюда следует формула Муавра:

.

 

1.3 Извлечение корня n – ой степени из комплексных чисел.

По определению: На множестве действительных чисел для однозначности вводится понятие арифметического корня: корень четной степени – неотрицателен. В комплексной области такого ограничения быть не может (см. замечание в п. 1.1). Вообще говоря, все значения корня считаются равноправными. Из формулы Муавра следует, что одним из корней из числа будет число Нетрудно видеть, что любое из чисел также являются корнями из этого числа . При этом все они будут различны для значений k = 0,1,…, n −1. Для последующих значений k числа начнут повторяться. Окончательная формула имеет вид:

, k = 0,1,2,…, n − 1.

Все полученные значения располагаются в вершинах правильного n−угольника.

Замечание. Фактически, при извлечении корня пришлось использовать величину Arg z.

Примеры. 1) .

2) Рассмотрим квадратный корень из положительных и отрицательных действительных чисел в комплексной области. Корни из положительного числа а ² будут, очевидно, равны: , что легко показать и формально. Отрицательные числа имеют аргумент, равный . Отсюда аргументы значений корня будут равны

Следствием полученного результата являются формулы для корней квадратного уравнения в случае отрицательного дискриминанта:

 

1.4 Множества комплексной плоскости.

В п.1.1 было показано, что равен расстоянию от начала координат до т. z. Таким образом,

геометрический смысл модуля в комплексной области совпадает с геометрическим смыслом модуля в действительной области. Легко видеть, что и модуль разности 2-х комплексных чисел обладает тем же свойством: . Где d (z,z ₀) – расстояние от т. z до т. z ₀ на комплексной плоскости. Отсюда следует, что уравнение описывает окружность с центром в т. z ₀ радиуса R, неравенства кольцо ширины 3 с центром в т. i, без внешней границы. Уравнение arg z = π/ 3 описывает луч из начала координат под углом в 60⁰ к оси ОХ. Неравенства π/ 6 ≤ arg z ≤ π/ 4 –множество точек между лучами под углом в 30⁰ и 45⁰ к оси ОХ (угол в 15⁰ с границами). Вспомнив геометрический смысл кривых 2 ^го порядка, можно сказать, что неравенство описывает множество точек между ветвями гиперболы с фокусами в тт. z ₁ и z ₂, а внутренние точки эллипса и сам эллипс.

В комплексной области вводится комплексное число z = ∞. Комплексная плоскость вместе с единственной бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. По умолчанию, говоря о комплексной плоскости, будем считать ее расширенной.

Понятие области в ТФКП имеет более конкретный смысл нежели в теории функций действительной переменной. Областью называется открытое связное множество точек комплексной плоскости (т.е. открытое множество, 2 любые точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству). Напомним, что т. z называется внутренней точкой области, если существует окрестность этой точки, целиком принадлежащая области и граничной точкой, если любая ее окрестность содержит как точки области, так и точки области не принадлежащие. Множество граничных точек называется границей области. Замкнутой областью называется ограниченная область вместе с границей.

Область G называется односвязной, если любой замкнутый без самопересечений контур ограничивает некоторую область , и многосвязной в противном случае.

Определение. ε – окрестностью т. называется открытый круг радиуса ε с центром в т. z ₀: ε – окрестностью бесконечно удаленной т. z = ∞: называется

множество точек расширенной комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству: .

1.5 Функции комплексной переменной.

Пусть в комплексной плоскости задана некоторая область G и правило, по которому любому ставится в соответствие определенное число В этом случае говорят, что на области G задана однозначная функция , отображающая область G на W. Если одному значению z соответствует несколько чисел w, то такая функция называется многозначной.

Функция f (z)может быть представлена в следующем виде: w = f (z) = u (x,y) + i v (x,y), где u (x,y) = Re f (z), v (x,y) = Im f (z) – действительные функции двух переменных, являющиеся действительной и мнимой частями комплексной функции f (z).

Примеры. − функция комплексной переменной, принимающая только действительные значения.

2) последовательность комплексных чисел.

3) каждому значению аргумента z соответствует одно комплексное значение функции. Такие функции называются однозначными или однолистными.

4) каждому значению аргумента z соответствует три комплексных значения функции (п.1.3). Такие функции называются многозначными или многолистными. Например, при имеем:

Понятия предела функции комплексного переменного (в частности, предела последовательности) и непрерывности вводятся аналогично тому, как это сделано для функций действительного переменного. Отличие заключается только в том, что вместо абсолютной величины действительного числа везде следует понимать модуль комплексного. Таким образом,

число C = a + b i является пределом функции при , или если .

Замечания. 1) Понятие предела ФКП (как и ФНП) является более сложным, нежели для функции одной действительной переменной. Это обусловлено существенно более многообразным стремлением аргумента ФКП (ФНП) к своей предельной точке.

2) Существование предела комплексной функции эквивалентно существованию пределов у двух действительных функций

Легко показать, что выполнены все арифметические свойства пределов.

Функция называется непрерывной в т. z ₀, если Это равенство эквивалентно непрерывности функций u (x, y) и v (x, y) в т. (x ₀, y ₀). Из предыдущего сразу следует, что выполняются все арифметические свойства непрерывных функций.