Групування. Його суть, завдання та види. 2 страница

В цьому випадку результат ділення збільшується у 1000 разів.

Наприклад, на підприємстві працюють 7830 робітників та 420 службовців.

Отже, на 1000 робітників припадає 54 службовця.

У деяких випадках використовується продецімільна форма виразу відносних величин (⁰/₀₀₀ — продецеміле):

Для одержання цієї форми виразу результат ділення збільшується у 10000 разів.

Наприклад, в області проживає 1610 тис.чол. населення, а працює 34,5 тис. лікарів.

.

Отже, на 10000 жителів області припадає 214 лікарів.

При характеристиці рівня захворюваності населення та в інших окремих випадках застосовується просантимільна форма виразу (просантиміле - ⁰/₀₀₀₀):

.

 

26. Види відносних величин.

В залежності від суті та методики розрахунку розрізняють сім видів відносних величин: планового завдання, виконання плану, динаміки, структури, координації, порівняння та інтенсивності.

Відносна величина планового завдання показує, у скільки разів або на скільки процентів запланований рівень показника більший чи менший фактично досягнутого рівня: або ,

де П₁ та Ф­₀ — відповідно планове значення показника у наступному та фактичне значення у попередньому періоді.

Наприклад, у ІІ кварталі прибуток становив 13450 грн., а у ІІІ кварталі планується одержати 14000 грн. прибутку.

або 104,1%.

Таким чином, у ІІІ кварталі порівняно з другим планувалося збільшити прибуток на 4,1%.

Відносна величина виконання плану характеризує, у скільки разів або на скільки процентів фактичне значення показника більше або менше запланованого:

або .

Наприклад, у ІІІ кварталі при плановому прибутку 14000 грн. фактичний прибуток становив 12170 грн. Тоді

.

У тому випадку, коли планується не абсолютне значення показника, а його збільшення або зменшення у процентах, відносна величина виконання плану визначається як відношення фактичної зміни у процентах до планової. Наприклад, по підприємству планувалося у серпні збільшити обсяг реалізації продукції на 4%, а фактично він зріс лише на 0,7%. Тоді,

.

Таким чином, план по реалізації продукції у серпні недовиконаний на 3,2% (96,8 – 100 = –3,2).

Відносна величина динаміки характеризує зміну показника у часі і визначається як відношення значення у наступному періоді до величини у попередньому періоді:

або .

Наприклад, якщо у ІІІ кварталі фактичний прибуток становив 12170 грн., а у ІІ кварталі — 13450 грн. відносна величина динаміки становить:

або 90,5%.

Отже, у ІІІ кварталі порівняно з ІІ обсяг прибутку зменшився на 9,5% (90,5 – 100 = –9,5).

Між названими видами відносних величин, якщо вони підраховані за одними даними, існує даними, існує взаємозв’язок:

.

Звідси: або .

Відносна величина структури характеризує співвідношення частини та цілого. Вона показує, яку частину або скільки процентів становить частина від загального підсумку. Якщо ця відносна величина визначається у вигляді коефіцієнту, вона називається часткою, а якщо у процентах — питомою вагою.

 

Наприклад, в області за рік народилося 8216 хлопчиків та 8203 дівчинки. Тоді

або 50,6%

або 49,4%.

Слід мати на увазі, що сума відносних величин структури становить і або 100%.

Відносна величина координації показує співвідношення між окремими частинами одного цілого, при цьому одна частина приймається за базу порівняння. Вона може визначатися на 100, 1000 або 10000 одиниць знаменника.

.

Наприклад, у демографії співвідношення між статями для новонароджених характеризується числом хлопчиків на 100 дівчаток:

(чол.)

Відносна величина порівняння — це співвідношення однойменних показників, що обчислені по різних об’єктах або територіях за однаковий час.

Наприклад, на 1.01.2002 р. чисельність населення у м. Тернополі становила 229 тис. чол., а у м. Львові — 810 тис. чол. Звідси,

Звідси, у м. Львові проживало у 3,5 рази більше населення, ніж у м. Тернополі.

Відносна величина інтенсивності визначається як відношення двох різних показників і переважно характеризує ступінь поширення чи розвитку явища у певному середовищі. Ця відносна величина може мати одиниці виміру вихідних показників.

.

Форма виразу відносної величини інтенсивності визначається суттю досліджуваних процесів та економічною логікою. Вони широко застосовуються для аналізу економічного розвитку, демографічних, соціальних та політичних процесів.

 

27. Суть та умови використання середніх величин.

У статистиці середня величина є найбільш розповсюдженою формою узагальнюючого показника, оскільки він дає кількісну характеристику масових соціально-економічних явищ та процесів.

Середня величина – це узагальнена характеристика однорідної сукупності за варіюючою ознакою, що показує типовий рівень цієї ознаки у одиниці сукупності.

Характерний, типовий рівень ознаки формується під впливом так званих систематичних (невипадкових, постійних) факторів, а відхилення індивідуальних значень від типового рівня зумовлені дією випадкових факторів, котрі впливають по-різному на окремі одиниці сукупності. Таким чином, середня величина відображає те спільне, загальне, що є характерним для усіх одиниць досліджуваної сукупності.

З допомогою середніх величин вирішуються наступні завдання статистичного дослідження:

- характеристика досягнутого рівня розвитку явища або процесу;

- порівняння показників, обчислених по різних сукупностях;

- характеристика розвитку (варіації) явища у часі та просторі;

- вивчення взаємозв`язку між показниками.

При визначенні середньої величини необхідно дотримуватись двох головних вимог: по-перше, сукупність повинна бути якісно однорідною; по-друге, достатньо велика кількість одиниць у сукупності, тобто наявність масових даних. Бажано, щоб при визначенні середньої величини враховувалися значення показника по усіх одиницях сукупності.

Середні величини поділяються на загальні та групові. Загальна середня величина характеризує сукупність в цілому, а групова – окрему групу одиниць. Якщо сукупність складається з якісно різнорідних груп, загальна середня величина не буде типовою характеристикою сукупності, тому обов`язково необхідно визначати групові середні величини. Наприклад, при вивченні витрат на підготовку фахівців необхідно враховувати наявність різних форм навчання: денної, заочної та вечірньої.

За методикою розрахунку всі середні величини, які використовуються у статистиці, відносяться до класу степеневих середніх, формула якої в загальному має вигляд:

,

де х – індивідуальні значення ознаки; n – чисельність сукупності (кількість одиниць).

 

28. Види середніх.

В залежності від значення показника степеня m розрізняють такі середні величини:

m = -1 - середня гармонійна;

m = 0 - середня геометрична;

m = 1 - середня арифметична;

m = 2 - середня квадратична.

При використанні середніх величин основним питанням є вибір виду середньої, при цьому визначальним фактором є відповідність обчислень економічній суті осереднюваного показника та характеру вихідних даних.

 

29. Середня арифметична величина: методика розрахунку та властивості.

Середня арифметична величина є найбільш поширеним видом середньої. Вона використовується у тому випадку, коли обсяг варіюючої ознаки одержується як сума індивідуальних значень. Середня арифметична величина має таку загальну логічну формулу розрахунку:

.

У тому випадку, коли середня величина визначається на основі індивідуальних, тобто незгрупованих даних, використовується формула середньої арифметичної простої:

Наприклад, відомий рівень місячної оплати за житлово-комуальні послуги 12 сімей: 286, 378, 183, 295, 363, 280, 276, 292, 358, 265, 275, 373 грн. Середній рівень оплати становить:

Якщо вихідні дані є результатом групування, тобто відомий дискретний або інтервальний ряд розподілу, використовується формула середньої арифметичної зваженої:

де х – варіанти; f – частоти; m – число груп.

У багатьох випадках вихідні дані для визначення середньої арифметичної являють собою інтервальний ряд розподілу. Тоді спочатку інтервальний ряд розподілу перетворюється у дискретний шляхом знаходження середини кожного інтервалу, а далі розрахунок здійснюється як у попередньому випадку за формулою середньої арифметичної зваженої.

Якщо вихідні дані являють собою результат групування і відомі середні значення показника по кожній групі (групові середні), то розрахунок загальної середньої здійснюється виключно за формулою середньої арифметичної зваженої:

де - групові середні величини; –число одиниць у і -тій групі.

Середня арифметична величина має ряд властивостей, що використовуються при обчисленнях:

1. При збільшенні або зменшенні кожної частоти в к разів, середня не зміниться.

2. При збільшенні або зменшенні кожної варіанти в к разів середня зміниться в стільки ж разів.

або

 

3. При збільшенні або зменшенні кожної варіанти та сталу величину А, середня зміниться на цю ж величину.

4. Сума відхилень значень ознаки (варіант) від середньої арифметичної дорівнює нулю:

5. Середня арифметична, що помножена на чисельність сукупності, дорівнює обсягу ознаки.

6. Сума квадратів відхилень варіант від середньої арифметичної є мінімальною величиною із всіх можливих.

Властивість 1 свідчить про те, що середню арифметичну можна визначити як за абсолютними, так і за відносними частотами.

Властивості 2 та 3 використовуються для спрощення підрахунків середньої арифметичної зваженої в інтервальних рядах розподілу (метод «моментів»). Середнє значення при використанні цього методу визначається за формулою:

де: m₁ — момент першого порядку;

і — величина інтервалу;

А — середина інтервалу з найбільшою частотою.

 

30. Середня гармонійна величина.

Середня гармонійна величина використовується у тому випадку, якщо відомі обернені значення осереднюваного показника. У цьому разі

, де х — значення прямого (осереднюваного) показника,

— значення оберненого показника.

Наприклад, прямий показник — продуктивність праці. а обернений — трудоємкість. Отже, якщо відомі значення трудоємкості, то для розрахунку середньої продуктивності праці необхідно застосувати середню гармонійну величину.

Для індивідуальних (незгрупованих) даних використовується середня гармонійна проста:

Для рядів розподілу застосовують середню гармонійну зважену:

Частіше при розрахунках середньої величини використовується середня гармонійна у вигляді:

де: W = хf — значення об’ємного показника;

х — значення осереднюваного показника.

Остання формула застосовується у тих випадках, коли частоти у явній формі невідомі, а є готові добутки варіант і частот (W = xf).

Таким чином, необхідно пам’ятати, що середня арифметична зважена використовується тоді, коли відомі значення варіант (х) та частот (f). Якщо ж замість частот відомі обсяги ознаки, тобто значення W = xf, необхідно скористатися середньою гармонійною зваженою. Але у будь-якому випадку розрахунки повинні відповідати логічній формулі середньої величини.

 

31. Інші види середніх величин.

Обмежене використання у статистиці знаходять середня квадратична та середня геометрична величини. Середня квадратична (проста і зважена) обчислюються за формулами:

Вона використовується при розрахунках показників варіації (середнього квадратичного відхилення) у модифікованому вигляді.

Середня геометрична величина застосовується тоді, коли обсяг ознаки дорівнює не сумі, а добутку варіант. Її формула має вигляд:

За наведеною формулою підраховується середній коефіцієнт росту, при цьому Х – ланцюгові коефіцієнти росту.

У окремих випадках виникає потреба визначити узагальнений середній показник по декількох ознаках одночасно. Він має назву багатомірної середньої. При цьому осереднюються не абсолютні значення ознак, а коефіцієнти відношення до середнього рівня по кожній ознаці. Названі коефіцієнти визначаються за формулою:

де і = 1, 2, 3,......., m — число ознак;

j = 1, 2, 3,......., n — число одиниць у сукупності.

Багатомірна середня має вигляд:

.

32. Методика визначення середнього значення відносної величини.

У статистичному аналізі досить часто необхідно визначити середнє значення не абсолютної, а відносної величини. Методика розрахунку середньої в даному випадку залежить від вихідних даних. Якщо відомі значення показників, що знаходяться у чисельнику та знаменнику відносної величини, використовується формула:

У тому випадку, коли відомі значення осереднюваної відносної величини (ВВ), які розглядаються як варіанти Х, та значення показника, що знаходиться у її знаменнику (Б) і виконує роль частоти f, розрахунок виконується за формулою середньої арифметичної зваженої:

В тому випадку, коли відомі значення осереднюваного показника (ВВ) та значення, що знаходяться в його чисельнику (А) і виконують роль обсягу ознаки (W), розрахунок середньої здійснюється за формулою гармонійної зваженої:

 

33. Структурні середні: мода та медіана.

Для характеристики розподілу одиниць сукупності за певною ознакою використовується так звані порядкові або структурні середні — мода і медіана.

Мода (М₀) — це значення ознаки, що найчастіше зустрічається у сукупності. Таким чином, у дискретному ряді розподілу - це варіанта, що має найбільшу частоту. В інтервальному ряді розподілу мода знаходиться за формулою:

де: х_мо — нижня межа модального інтервалу;

і — величина модального інтервалу;

f­₂, f₁, f₃ — відповідно частота модального, передмодального та після модального інтервалів.

Слід мати на увазі, що в інтервальних рядах розподілу з нерівними інтервалами модальним вважається інтервал з найбільшою щільністю розподілу, а мода дорівнює його середині.

Медіана (Ме) — це значення ознаки, що ділить рангований ряд значень показника на дві рівні частини. У першої половини одиниць значення ознаки менше медіани, а у другої — більше. Тобто, медіана — це серединне значення.

У тому випадку, коли відомі індивідуальні значення ознаки, їх спочатку рангують (розміщують в порядку зростання чи спадання). Потім визначають номер (місце) медіани:

При непарній кількості одиниць медіана дорівнює значенню ознаки з порядковим номером (n + 1)/2. При непарній кількості одиниць медіана визначається як півсума двох значень — з порядковими номерами n/2 та (n + 2)/2.

В інтервальному ряді розподілу медіана визначається за формулою:

де х_ме — нижня межа медіанного інтервалу;

і — величина інтервалу;

f_н — нагромаджена частота передмедіанного інтервалу;

f_ме — частота медіанного інтервалу.

 

34. Суть варіації та завдання її статистичного аналізу.

У статистиці під варіацією розуміють мінливість, коливання значень ознак у одиниць сукупності. В результаті зведення та групування одержують ряди розподілу, які характеризують склад або структуру сукупності за певною варіюючою ознакою. Однак варіацію можна вивчати не тільки на основі рядів розподілу, але й по індивідуальних, незгрупованих даних.

Варіація зумовлена дією багатьох факторів, які поділяються на систематичні та випадкові. При вивченні варіації вирішуються три головних завдання (відповідно існує й три групи показників):

— характеристика центру розподілу (середня, мода і медіана);

— характеристика розміру та ступеня варіації;

— характеристика виду та типу розподілу.

Вивчення варіації має велике значення з точки зору аналізу диференціації соціально-економічних явищ та процесів. Показники варіації покладено в основу вивчення взаємозв’язку між ознаками (дисперсійний аналіз), а також вибіркового спостереження. Варіація є також характеристикою однорідності сукупності за певною ознакою: чим менше є варіації, тим більш однорідною є сукупність.

 

35. Абсолютні показники варіації: економічний зміст та способи обчислення.

Для вимірювання та оцінки розміру варіації використовується система абсолютних показників, які розглядаються як абсолютна міра варіації:

1. Розмах варіації (R), що характеризує максимальну амплітуду коливань значень ознаки у сукупності:

R = x_max – x_min,

де x_max, x_min — відповідно найбільше та найменше значення ознаки сукупності.

В інтервальних рядах розподілу розмах варіації визначається як різниця між верхньою межею останнього та нижньою межею першого інтервалу. Перевагою даного показника є простота обчислення та ясність економічної інтерпретації. Головний недолік полягає у тому, що він визначається по двох граничних величинах, які часто є випадковими.

2. Середнє лінійне відхилення (l), що характеризує середній розмір коливань значень ознаки навколо середнього рівня:

Просте середнє лінійне відхилення визначається по індивідуальних даних, а зважене — в рядах розподілу. В інтервальних рядах розподілу спочатку знаходиться середина кожного інтервалу, а далі робляться обчислення за наведеною формулою.

 

 

3. Дисперсія (σ²) — це середній квадрат відхилень значень ознаки від середнього рівня:

 

Для полегшення підрахунків використовують формули:

В інтервальних рядах розподілу для знаходження дисперсії спочатку визначається середина кожного інтервалу.

В інтервальних рядах розподілу з рівними інтервалами дисперсію можна визначити методом «моментів» за формулою:

 

де

і — величина інтервалу.

4. Середнє квадратичне відхилення (σ) — показує, на скільки в середньому відхиляються значення ознаки від середнього рівня:

 

Середнє квадратичне відхилення найчастіше використовується у статистичному аналізі, тому його називають стандартним відхиленням. Зрозуміло, що чим меншою є його величина, тим слабкішою є варіація і більш однорідною - статистична сукупність.

 

36. Відносні показники варіації.

Поряд із абсолютними показниками варіації у статистичній практиці застосовують відносні показники варіації. Вони використовуються:

— для оцінки ступеня варіації;

— для порівняння варіації різних ознак;

— для порівняння варіації однієї ознаки по різних сукупностях.

У загальному вигляді відносні показники варіації визначаються за формулою:

Можливі 12 варіантів обчислення Кв:

У статистичному аналізі найчастіше використовується коефіцієнтваріації у вигляді:

Вважається, що сукупність є однорідною, якщо V £ 33%. Крім цього, наведений коефіцієнт варіації застосовують для оцінки ступеня варіації:

V < 15% — слабка; 15 £ V £ 25% — середня; V > 25% — сильна.

Отже, у кожній групі має місце досить сильна варіація, причому у першій групі ступінь варіації дещо вищій.

 

37. Міжгрупова та внутрішньо групова дисперсії.

Чисельні фактори, що обумовлюють варіацію ознаки, можна поділити на дві групи: систематичні та випадкові. Для практичних та наукових потреб необхідно оцінити роль кожної групи факторів у формуванні варіації. При цьому загальну варіацію досліджуваної ознаки необхідно розкласти на дві складові: систематичну та випадкову. Це можна зробити на основі аналітичного групування, при цьому досліджувана ознака є результативною, а групувальна ознака розглядається як систематичний фактор.

Розмір систематичної варіації, яка обумовлюється впливом групувальної ознаки, характеризує міжгрупова дисперсія. Це — середній квадрат відхилень групових середніх значень результативної ознаки (y_i) від його загальної середньої (у_заг). Таким чином, міжгрупова дисперсія визначається за формулою:

де f_i — число одиниць у кожній групі.

Випадкова варіація обумовлена дією випадкових факторів і проявляється у коливанні значень результативної ознаки в межах однієї групи. Розмір цієї варіації характеризується показником внутрішньогрупової дисперсії. Вона показує середній розмір відхилень значень результативної ознаки (у) від групової середньої (у_і) і визначається за формулою: