Потенциальная энергия во внешнем поле сил

В случае, когда работа сил поля не зависит от пути, а зависит лишь от конечного и начального положений частицы, каждой точке поля можно сопоставить значение некоторой функции U (x, y, z) такой, что разность значений этой функции в точках 1 и 2 будет определять работу сил поля при переходе частицы из первой точки во вторую.

Функция U (x, y, z) называется потенциальной энергией.

A ₁₂ = U ₁ - U ₂ = T ₂ - T ₁; Т ₂ + U ₂ = T ₁ + U ₁

Полная механическая энергия Е частицы (кинетическая Т плюс потенциальная U), как видно из последнего выражения, сохраняется в поле консервативных сил:

Е = Т + U = const

Потенциальная энергия U определена с точностью до константы. Однако это обстоятельство не имеет значения так, как во все соотношения входит либо разность значений U в двух положениях тела, либо производная U по координатам.

Можно определить потенциальную энергию частицы в силовом поле несколько иначе (хотя этот способ полностью эквивалентен выше приведеному). Представим себе стационарное поле консервативных сил, в котором мы перемещаем частицу из разных точек Р_i в некоторую фиксированную точку О. Так как работа сил поля не зависит от пути, то остается зависимость ее от положения точки Р (при фиксированной точке О). А это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора r точки Р. Обозначив эту функцию U (r), запишем:

.

Функцию U (r) называют потенциальной энергией частицы в данном поле.

Найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2. Так как работа не зависит от пути, выберем путь, проходящий через точку О.

Тогда работа на пути 1 О 2 может быть представлена в виде

А ₁₂ = А _1О + А _О2 = А _1О - А _2О

Или

Выражение, стоящее справа, есть убыль потенциальной энергии, т.е. разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной точках пути.

Таким образом, работа сил поля на пути 1 - 2 равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле.

Очевидно, частице, находящейся в поле О поля, всегда можно приписать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что работа сил поля определяет лишь разность потенциальных энергий в двух точках, но не их абсолютное значение. Однако как только зафиксирована потенциальная энергия в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются последней формулой.

Зная U (x,y,z) можно определить силу, которая действует на частицу со стороны потенциального поля:

F_xdx = - dU;

аналогично:

В итоге:

Последняя операция над скалярной функцией U (x, y, z) носит название градиент.

Закон сохранения полной механической энергии Е одной частицы в поле консервативных сил можно обобщить на систему из N невзаимодействующих частиц в поле консервативных сил:

При наличии трения механическая энергия переходит в тепло. Количество теплоты, или потерянной механической энергии равно работе силы трения.