Потенциальная энергия взаимодействия

Рассмотрим систему из двух взаимодействующих друг с другом частиц. Обозначим силу, с которой вторая частица действует на первую, символом F ₁₂, а силу, с которой первая частица действует на вторую, - символом F ₂₁. В соответствии с третьим законом Ньютона F ₁₂ = -F ₂₁.

Введем вектор R ₁₂ = r ₂ - r ₁, где r ₁ и r ₂ - радиусы-векторы частиц (рисунок). Расстояние между частицами равно модулю этого вектора.

Допустим, что силы F ₁₂ и F ₂₁ имеют величину, зависящую только от расстояния R₁₂ между частицами, и направлены вдоль соединяющей частицы прямой (например, кулоновское или гравитационное взаимодействие).

При сделанных допущениях силы F ₁₂ и F ₂₁ можно представить в виде

F ₁₂ = f (R ₁₂) e ₁₂, F ₂₁ = - f (R ₁₂) e ₁₂, где e ₁₂ - орт вектора R ₁₂ (рисунок), а f (R ₁₂) - некоторая функция R ₁₂, положительная в случае взаимного притяжения частиц и отрицательная в случае их отталкивания друг от друга.

Считая систему замкнутой (внешних сил нет), напишем уравнение движения обеих частиц:

Умножим первое уравнение на d r ₁ = v ₁ dt, а второе - на d r ₂ = v ₂ dt и сложим их вместе:

Левая часть этого соотношения представляет собой приращение кинетической энергии системы за время dt, правая часть - работу внутренних сил за то же время.

Преобразуем правую часть:

Выражение f (R ₁₂) dR ₁₂ можно рассматривать как приращение функции U (R ₁₂), которая представляет потенциальную энергию взаимодействия:

f (R ₁₂) dR ₁₂ = d U (R ₁₂)

Следовательно, элементарная работа, совершаемая силой взаимодействия частиц внутри системы, равна убыли потенциальной энергии взаимодействия и приращению кинетической энергии системы:

dA _внутр = - dU = dT

Отсюда следует, что полная энергия Е рассматриваемой замкнутой системы сохраняется: dE = d (T + U) = 0; E = T + U = const

Работа, совершаемая внутренними силами при изменении расстояния между частицами от а до b определяется интегралом:

Из последнего выражения следует независимость работы от пути. Таким образом, силы зависящие только от расстояния между частицами и направленные по прямой, соединяющей частицы, выявились консервативными.

Потенциальную энергию взаимодействия двух частиц, при заданном расстоянии между ними а, можно определить как работу, совершаемую против силы взаимодействия частиц, при перемещении одной из них из бесконечности на заданное расстояние от другой частицы:

Можно доказать, что для системы из N взаимодействующих частиц потенциальная энергия взаимодействия слагается из энергий взаимодействия частиц, взятых попарно:

U_вз = U ₁₂(R ₁₂) + U ₁₃(R ₁₃) +...+ U _{1 N} (R _{1 N} ) + U ₂₃(R ₂₃) +...+ U _{2 N} (R _{2 N} ) +...+ U_{N -1, N} (R_{N -1, N} ) =

= (множитель 1/2 в последней сумме появился потому, что при выбранном методе суммирования – сумма энергий взаимодействия каждой частицы со всеми остальными – энергия взаимодействия каждой пары частиц учитывается дважды).

Обобщая предшествующие результаты на систему взаимодействующих частиц, находящихся в поле консервативных сил, получаем закон сохранения полной механической энергии Е, которая складывается из кинетической энергии Т движения частиц, потенциальной энергии U_вз их взаимодействия друг с другом и потенциальной энергии U_внешн их в поле внешних консервативных сил:

Е = Т + U_вз + U_внешн = const

Если на систему действуют неконсервативные силы (например, трение), совершая над ней работу А_{неконсерв}, то Е ₂- Е ₁= А_{неконсерв}