Производится несколько независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А. Если опыты производятся в одинаковых условиях, то вероятность события А во всех опытах одна и та же, если опыты производятся в разных условиях, то вероятность события А от опыта к опыту меняется.
Для первого случая применяется частная теорема для вычисления вероятности того, что событие А при n независимых опытах, в каждом из которых оно появляется с вероятностью p, появится ровно m раз, выражается формулой Бернулли:
С 
,
где g = 1- p.
Для второго случая применяется общая теорема о повторении опытов. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, причем вероятность появления события в i-м опыте равна p 
, а вероятность не появления g 
= 1- p (i = 1,….n). Согласно этой теореме вероятность того, что в результате n опытов событие А появится m раз, равна коэффициенту при z 
в выражении производящей функции:
,
где p - вероятность появления события А в i-ом опыте.
Общую теорему о повторении опытов можно записать в виде следующей формулы:
= 
.
Раскрывая скобки в левой части и выполняя приведение подобных членов, получим все вероятности: 
как коэффициенты при нулевой, первой и т.д. степенях z.
3. Случайные величины и их законы распределения вероятностей.
Основные понятия и определения.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Различают непрерывные случайные величины, дискретные и смешанные.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Рядом распределения случайной величины называется закон распределения, представленный в виде таблицы, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:
|  
| 
| ... | 
|
| 
| 
| ... | 
|
Функция распределения случайной величины X есть вероятность события X<x, где x – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от x и, следовательно, является функцией и обозначается F(x):
.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при 
.
2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F(-∞)=0.
3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F(+∞)=1.
Плотность распределения случайной величины это функция f (x) – производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.
Дифференциальная связь между функцией распределения и плотностью распределения имеет следующий вид:
.
Интегральная связь между функцией распределения и плотностью распределения имеет следующий вид:
.
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: f (x)≥0.
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
.
С помощью функции распределения и с помощью плотности распределения просто решается задача вычисления вероятности попадания случайной величины в определенный интервал: 
. Вероятность этого события равна:
- через функцию распределения:
;
- через плотность распределения:
