Примеры. 1. Найти производные неявных функций и вычислить их значение при :

1. Найти производные неявных функций и вычислить их значение при :

а) .

Преобразуем данное выражение к виду:

и, согласно (2), получим:

Вычислим, используя исходное выражение функции, значение при :

, логарифмируя это выражение по основанию , получим:

, , откуда . Подставляя значения и в найденное выражение производной, находим:

.

б) .

Обозначив левую часть выражения через , вычислив частные производные и и воспользовавшись формулой (2), находим:

.

Вычислим, используя исходное выражение функции, значение при :

,

решая квадратное уравнение, получим и .

и .

2. Найти производные неявных функций:

а) .

Обозначив левую часть выражения через , вычислив частные производные , и и воспользовавшись формулой (1), находим:

;

 

9. Частные производные и дифференциалы высших порядков

 

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Если функция определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.

Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Частные производные первого порядка обычно зависят от тех же аргументов, что и сама функция, и каждую из них можно дифференцировать по каждому аргументу.

1°. Частные производные от частных производных первого порядка называют частными производными второго порядка и обозначают:

 

.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные третьего порядка:

;

;

.

 

Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого, пятого и более высоких порядков.

 

2°. Частные производные старших порядков вида и т.д. называются смешанными производными.

 

Теорема. Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то смешанные производные, отличающиеся только последовательностью дифференцирования, равны, т.е. верно соотношение:

.

Согласно этой теореме, функция двух переменных имеет 3 различных частных производных второго порядка; 4 различных частных производных третьего порядка и, вообще, различных частных производных -го порядка.

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

 

…………………

Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения.

Дифференциал 2-го порядка позволяет вывести приближенную формулу, выражающую функцию через дифференциал:

.

Дифференциалы 1-го и 2-го порядка применяют для исследования функции нескольких переменных на экстремум.