1.Найти частные производные функции:
а) .
Считая функцией одной переменной – аргумента
, находим
;
аналогично для случая, если функция одной переменной – аргумента
:
б) .
Считая функцией одной переменной – только аргумента
, затем только
и далее только
, находим
;
;
.
в) .
Перепишем функцию в виде и найдем частные производные, полагая
и
.
и
.
2.Вычислить значения частных производных функции при указанных значениях аргументов:
а) ;
,
.
;
;
.
3.Проверить, что данная функция удовлетворяет уравнению
.
Преобразуем функцию и найдем ее частные производные.
;
Подставим найденные частные производные и функцию в преобразованном виде в исходное уравнение:
Тождество доказано. Это означает, что данная функция удовлетворяет указанному уравнению (является его решением).
5. Дифференциалы ФНП. Геометрический смысл полного дифференциала
1°. Частным дифференциалом по х функции называется главная часть соответствующего частного приращения
, линейная относительно приращения Dх (или, что то же, дифференциала
).
Аналогично определяются частные дифференциалы функции по каждому из остальных аргументов. Обозначаются, соответственно, ,
,
…
Из определения частных производных следует
,
,
…
2°. Для функции выражение
(1)
называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.
здесь
Тогда получаем
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
Если функция определена в окрестности точки и имеет непрерывные частные производные в этой точке, то полное приращение можно выразить в виде
или
,
где a1…an – бесконечно малые функции при Dх®0, Dу®0 … Dt®0 соответственно;
;
.
3°. Полным дифференциалом функции называется главная часть ее полного приращения (1), линейная относительно приращений ее аргументов
(или, что то же, дифференциалов
).
Полный дифференциал функции , если он существует, равен сумме всех ее частных дифференциалов
4°. Функция называется дифференцируемой в точке, если в этой точке она имеет полный дифференциал. Если функция дифференцируема в каждой точке области, то она называется дифференцируемой в этой области.
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.