Примеры. Данная функция в предельной точке (3;0) не существует, и при заданных значениях аргументов функция представляет собой отношение

1.Найти предел функции:

а)

Данная функция в предельной точке (3;0) не существует, и при заданных значениях аргументов функция представляет собой отношение . Преобразуем выражение так, чтобы использовать первый замечательный предел :

.

б) не существует, так как отношение не имеет предела при произвольном стремлении точки к точке .

Так, например, если точка вдоль разных прямых, заданных уравнениями вида , то отношение , то есть зависит от углового коэффициента прямой, по которой движется точка.

2. В каких случаях ФНП будет разрывна в точке ? Пояснить примерами.

1) Функция будет разрывна в точке , если она определена вблизи этой точки, но не определена в самой .

Например, не определена в точке , но в других точках плоскости хОу определена всюду. Следовательно, в точке она разрывна. Во всех остальных точках непрерывна.

2) Функция будет разрывна в точке , если она определена вблизи этой точки, и в самой точке , но не имеет предела когда .

Например, разрывна в точке , так как она определена вблизи этой точки и в самой точке, но не имеет предела при . Во всех остальных точках непрерывна.

 

3) Функция будет разрывна в точке , если она определена вблизи этой точки, и в самой точке , но предел не равен :

.

Например, разрывна в точке , так как она определена вблизи этой точки и в самой точке, но предел

.

Во всех остальных точках непрерывна. Графиком этой функции является вся плоскость без точки без точки , вместо которой графику принадлежит точка .

 

3. Свойства функций, непрерывных в области

 

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка N(x₀, y₀, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x₀, y₀, …) ³ f(x, y, …)

а также точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₀₁, y₀₁, …) £ f(x, y, …).

Тогда f(x₀, y₀, …) = M – наибольшее значение функции,

а f(x₀₁, y₀₁, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает, по крайней мере, один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m,M] существует точка N₀(x₀, y₀, …) такая, что f(x₀, y₀, …) = m.

 

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

 

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х₁, y₁) и (х₂, у₂) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке.

 

4. Частные производные функций нескольких переменных

 

Функцию можно дифференцировать по каждому из ее аргументов , считая при этом все остальные аргументы постоянными.

1°. Пусть в некоторой области задана функция . Возьмем произвольную точку и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина

называется частным приращением функции по х.

 

Можно записать

.

2°. Производная от функции по , взятая в предположении, что все остальные аргументы являются постоянными, называется частной производной функции по и обозначается:

Из определения:

.

 

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции по каждому из остальных аргументов.

Частные производные ФНП находят по известным правилам дифференцирования функции одной переменной.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона (относительно Ох) касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.