Скалярное поле

Содержание: Линии и поверхности уровня. Производная функции по заданному направлению. Градиент функции.

1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня

Физическим полем называется часть пространства, в которой происходит физическое явление. Физическое поле называется скалярным, если физическое явление, его образующее, характеризуется функцией , зависящей только от координат точек пространства, в котором это явление происходит. Скалярное поле полностью определено заданием одной функции трех независимых переменных^[1].

Если физическое явление образовало скалярное поле, то каждой точке пространства, в котором происходит это явление, ставится в соответствие определенное число, характеризующее это явление в рассматриваемой точке. Это число есть частное значение функции , вычисленное в точке (примерами скалярного поля являются: поле элект­рического потенциала, давление в атмосфере, поле температур неравномерно нагретого тела и т.д.).

При рассмотрении данной темы будем считать, что скалярное поле стационарно.

1°. Скалярное поле – это область пространства, в которой задана скалярная функция , называемая функцией поля.

2°. Множество точек поля, в которых функцияполя принимает одно и то же значение С, образует поверхность, называемую изоповерхностью или поверхностью уровня (иначе эквипотенциальной поверхностью) этого поля.

Поверхности уровня имеют уравнение

,

где С — постоянная величина.

Придавая постоянной С различные числовые значения, получим семейство поверхностей уровня. Через каждую точку простран­ства проходит одна поверхность уровня.

Во всех точках поверхности уровня физическое явление проте­кает одинаково.

Уравнение поверхности уровня, проходящей через точку , имеет вид:

.

3°. Если скалярное поле – плоское, например, находится в плоскости хОу, то его функция поля зависит от двух переменных, а множество точек, в которых , образуют линию уровня или изолинию.

Линии уровня используются при составлении географических карт (для изображения точек, находящихся на одинаковой высоте над уровнем моря), при составлении метеорологических карт (для изображения линий одинаковых температур – изотерм, и линий одинакового давления – изобар).