Примеры. 1.Найти полный дифференциал функции:

1.Найти полный дифференциал функции:

а) .

Находим частные производные:

; .

Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:

; .

Искомый полный дифференциал находим как сумму частных дифференциалов:

.

б) .

;

;

в) .

 

 

г)

.

2. Вычислить значение полного дифференциала функции при ; ; ;

;

. Подставляя числовые значения, получаем .

 

6. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Линеаризация функции

 

Пусть функция дифференцируема в точке . И пусть значение функции и ее частных производных вычислить в точке проще, чем в точке . Найдем полное приращение этой функции от точки к точке :

. (1)

Выразим из формулы (1) значение функции в точке :

, (2)

где ; и т.д.

 

Воспользуемся выражением полного приращения функции в виде:

.

Видно, что при достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно со сколь угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом:

,

исключая точки, в которых частные производные .

Отсюда, возвращаясь к выражению (2), находим, что приближенное значение функции в произвольной точке , отстоящей достаточно близко от точки , можно вычислить по формуле:

 

 

Последнее равенство позволяет также линеаризовать функцию, т.е. заменить исходную функцию в окрестности точки линейной функцией.