Примеры. 1. Вычислить приближенно значение:

1. Вычислить приближенно значение:

а) .

Предположим, что - это частное значение функции в точке и что вспомогательная точка - , тогда:

;

,

Пользуясь формулой приближенных вычислений функции, получаем

.

б)

Пусть данное выражение есть частное значение функции в точке . В качестве вспомогательной точки возьмем . Тогда

, ; ,

Таким образом, .

 

 

в)

Пусть данное выражение есть частное значение функции при x = 1, y = 2, z = 1.

Из этого выражения определим

, ;

Найдем значение функции .

Находим частные производные и их значения во вспомогательной точке:

Полный дифференциал функции u равен:

 

 

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

 

2. Линеаризовать функцию в окрестности точки .

Найдем значения функции и ее частных производных в указанной точке:

;

.

Пользуясь формулой линеаризации функции, получаем

 

.

7. Дифференцирование сложных функций

 

1°. Переменная называется сложной функцией нескольких переменных , если она задана через посредство промежуточных аргументов :

,

где , ,…, .

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной:

 

(1)

………………

 

Если, в частности, все промежуточные аргументы будут функциями одной независимой переменной , то и будет сложной функцией только от . Производная такой сложной функции (от одной независимой переменной) называется полной производной и определяется формулой:

(2)

 

Формула (2) получается из формулы для полного дифференциала функции путем деления на .