Визначник добутку матриць

Можна показати, що визначник добутку двох квадратних матриць А і В однакових порядків дорівнює n добутку їхніх визначників: . Для цього розглянемо матрицю порядку 2 n

де E_n – одинична матриця.

Застосовуючи розкладання Лапласа по першим n рядкам визначника цієї матриці, маємо ½ D ½=½ A ½½ B ½. Представимо визначник ½ D ½ у виді:

де а ⁽¹⁾, а ⁽²⁾,..., а ⁽ⁿ⁾ - стовпці матриці A; b ₍₁₎, b ₍₂₎ ,..., b _(n) - рядки матриці В; 0 — нульова матриця n-го порядку.

Перетворимо визначник |D| до такого виду, щоб на місці елементів b _ij (i,j = 1,2,..., п) були нулі. Для цього перший стовпець помножимо на елементи рядка b ₍₁₎ і додамо його до відповідних (п + 1, п +2,..., 2 п) стовпців. Аналогічно зробимо з другим, третім і т.д. до п-го включно стовпцями. У результаті одержимо:

½ D ½=	а (1),	а (2),	...	а (n)
-1
	-1
		...
			-1

де сума в правому верхньому куті замінена добутком А В в відповідності з (1.4).

На основі розкладання Лапласа по першим п рядкам знаходимо, що ½ D ½= ½ АВ ½. Таким чином, | АВ | = | А || В | чи det (AB)= detAdet, що і було потрібно довести.

Природним узагальненням цього результату є теорема Бене—Коші про визначник добутку АВ двох прямокутних матриць розміру (т ´ п) і (п ´ т):

де сума означає, що складаються добутки всіляких мінорів m-го порядку матриці А, утворені т її стовпцями з номерами a₁, a₂,.... a _т, та мінори матриці В, утворені її рядками з тими ж номерами. В інших позначеннях цю теорему можна записати в такий спосіб:

де a₁, a₂,.... a _т — усілякі сполучення з п номерів, розташовані в порядку їхнього проходження.

При т>п вважають | АВ | = 0, а при т = п маємо розглянутий вище окремий випадок добутку квадратних матриць.

Зі співвідношення випливає, що визначники можна множити за правилами множення матриць. Приклад:

На закінчення відзначимо, що | і , де q — порядок матриці В і р — порядок матриці А.

3. ГРАФИ.

3.1. ПОНЯТТЯ ГРАФА.