ВИЗНАЧНИК ДОБУТКУ МАТРИЦЬ
Лекции.Орг

Поиск:


ВИЗНАЧНИК ДОБУТКУ МАТРИЦЬ




Можна показати, що визначник добутку двох квадратних матриць А і В однакових порядків дорівнює n добутку їхніх визначників: . Для цього розглянемо матрицю порядку 2n

де En – одинична матриця.

Застосовуючи розкладання Лапласа по першим n рядкам визначника цієї матриці, маємо ½D½=½A½½B½. Представимо визначник ½D½ у виді:

 

½D½= а (1), а (2), . . . а (n)
-1   . . .   b (1)
  -1 . . .   b (2)
. . . . . . . . . . . . . . .
    . . . -1 b (n)
         

де а (1), а (2), . . ., а (n) - стовпці матриці A; b (1), b (2), . . ., b (n) - рядки матриці В; 0 нульова матриця n-го порядку.

Перетворимо визначник |D| до такого виду, щоб на місці елементів bij (i,j = 1,2, ..., п) були нулі. Для цього перший стовпець помножимо на елементи рядка b (1) і додамо його до відповідних (п + 1, п +2, ..., 2п) стовпців. Аналогічно зробимо з другим, третім і т.д. до п-го включно стовпцями. У результаті одержимо:

 
 


½D½= а (1), а (2), . . . а (n)  
-1        
  -1      
    . . .  
      -1  

 

де сума в правому верхньому куті замінена добутком А В в відповідності з (1.4).

На основі розкладання Лапласа по першим п рядкам знаходимо, що ½D½= ½АВ½. Таким чином, | АВ | = | А||В | чи det(AB)= detAdet, що і було потрібно довести.

Природним узагальненням цього результату є теорема Бене—Коші про визначник добутку АВ двох прямокутних матриць розміру (т ´ п) і (п ´ т):

де сума означає, що складаються добутки всіляких мінорів m-го порядку матриці А, утворені т її стовпцями з номерами a1, a2, .... aт, та мінори матриці В, утворені її рядками з тими ж номерами. В інших позначеннях цю теорему можна записати в такий спосіб:

 

де a1, a2, .... aт усілякі сполучення з п номерів, розташовані в порядку їхнього проходження.

При т>п вважають | АВ | = 0, а при т = п маємо розглянутий вище окремий випадок добутку квадратних матриць.

Зі співвідношення випливає, що визначники можна множити за правилами множення матриць. Приклад:

На закінчення відзначимо, що | і , де q — порядок матриці В і р — порядок матриці А.

 


3. ГРАФИ.

3.1. ПОНЯТТЯ ГРАФА.





Дата добавления: 2015-02-12; просмотров: 414 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.