Обработка результатов совокупных и совместных измерений

(метод наименьших квадратов)

Совокупными измерениями называются производимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин находят решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.

Совместными измерениями называются производимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними.

Оба вида измерений характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитывают, решая систему уравнений.

Как правило, для решения полученных уравнений применяют метод наименьших квадратов (МНК), который позволяет провести обработку результатов измерений так, чтобы сгладить случайные разбросы.

Задача сводится к нахождению некоторой зависимости, которая имеет наименьшие отклонения от экспериментальных точек. Для этого отклонения возводят в квадрат и складывают, а потом требуют, чтобы сумма квадратов отклонений обращалась в минимум.

При использовании МНК накладываются следующие условия:

1. систематические погрешности устранены;

2. погрешности распределены по нормальному закону с одним и тем же СКО;

3. результаты измерений независимы друг от друга.

Таким образом, если: - аппроксимирующая зависимость, причем: x - величина на входе средства измерения; y - на выходе; a, b, c -некоторые параметры, то измеренные точки уклоняются или от погрешностей средств измерения, или неправильно выбранной модели измерений.

Закон распределения случайной величины, полученной как результат данного измерения, будет:

При проведении n измерений получим совокупность случайных величин: , плотность распределения системы независимых случайных величин, как известно, равна произведению плотностей отдельных величин, поэтому имеем:

Задача состоит в таком подборе математических ожиданий . чтобы плотность системы величин была максимальна, а значит, и вероятность соответствия экспериментальной зависимости истинной стала бы максимальной.

Применяя метод максимального правдоподобия, получают систему уравнений:

Эту же систему уравнений можно получить, минимизируя зависимость:

Для этого берем частные производные и приравниваем их к нулю. Конечный результат при этом будет один и тот же.

Оценку точности полученной системы производят довольно просто – по величине дисперсии:

или величине СКО S:

,

где k – число параметров a, b, c,…

Критерии адекватности полученных аппроксимирующих выражений обычно вводят по аналогии с критериями для многократных измерений.