Решение. Исправленная выборочная дисперсия равна

1) Объем выборки равен . Выборочное среднее и дисперсия определяются по формулам (1.2), (1.3)

;

Исправленная выборочная дисперсия равна .

Исправленное среднее квадратичное отклонение будет .

2) Доверительный интервал для математического ожидания найдем по формуле (1.4). Значение определим из таблицы по доверительной вероятности и объему выборки : . Тогда доверительный интервал имеет вид:

.

Доверительный интервал для дисперсии определим по формуле (1.5): (). Тогда границы интервала принимают вид:

 

; , т.е.

.

3) Размах варьирования находится по формуле . Среднее абсолютное отклонение

;

.

4) Вычислим медиану и моду. Так как , значит

.

Мода .

5) Согласно определению эмпирической функции распределения, ее значение при любом равно , где – количество элементов выборки, меньших чем .

Например, при имеем ;

при ;

при ;

при ;

при ;

при ;

при ;

при .

 

Итак, эмпирическая функция распределения имеет вид:

6) Из статистического ряда видно, что , , поэтому . Границы интервалов будут ; . Частота интервала подсчитывается с помощью ряда как число наблюдений, попавших в интервал. Так в первый интервал попало 3 значения, во второй - 7+10=17 значений. Аналогично, . Сведем полученные данные в таблицу:

 

	4 – 5.6	5.6 – 7.2	7.2 – 8.8	8.8 – 10.4	10.4 - 12

 

Найдем точечные оценки асимметрии и эксцесса. Применим формулы (7), предварительно вычислив величины : , , , , .

Отсюда ;

 

 

Теперь по формулам (1.8) вычислим их средние квадратичные ошибки:

, .

Так как (0.012<0.99) и (1.78<1.86), то можно сделать предположение, что гипотеза о нормальном распределении СВ может быть принята.

Проверим данное утверждение с помощью критерия согласия Пирсона. Найдем теоретические вероятности по формуле

,

где – функция Лапласа, значения которой взяты из приложения (табл. П1). Результаты вычислений сведем в таблицу:

 

		5.6	–	-2,72	–	-1,26	-0,5	-0,3962	0,1038
	5.6	7.2	-2,72	-1,12	-1,26	-0,53	-0,3962	-0,2019	0,1943
	7.2	8.8	-1,12	0,48	-0,52	0,22	-0,2019	0,0871	0,289
	8.8	10.4	0,48	2,08	0,22	0,96	0,0871	0,3315	0,2444
	10.4		2,08	–	0,96	–	0,3315	0,5	0,1685

 

Найдем теоретические частоты . Получим столбец:

5,19

9,715

14,45

12,22

8,425

 

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим следующую расчетную таблицу:

 

		5,19	-2,19	4,7961	0,924
		9,715	7,285	53,07123	5,463
		14,45	-3,45	11,9025	0,824
		12,22	-3,22	10,3684	0,848
		8,425	1,575	2,480625	0,294
					8,354

 

По таблице критических точек распределения , уровню значимости и числу степеней свободы находим . Так как , то гипотеза о нормальном распределении принимается.