Различают точечные и интервальные оценки. Точечная оценка некоторого параметра
определяется по результатам выборки одним числом. Для того, чтобы точечная оценка была «хорошей» необходимо, чтобы она была состоятельной, несмещенной, эффективной. Задача оценивания параметров
и
сводится к нахождению таких функций от выборки
и
, которые могут быть использованы для приближенного определения параметров
и
. В качестве точечных оценок для
и
нормально распределенной СВ
(
) принимаются:
(1.2)
(1.3)
Точечные оценки не указывают величины ошибки, которая совершается при замене и
их приближенными значениями
и
. Поэтому иногда выгоднее пользоваться интервальной оценкой, которая определяется двумя числами
и
– концами интервала, накрывающего оцениваемый параметр
с заданной вероятностью (надежностью).
Пусть – точечная оценка параметра
. Она тем лучше, чем меньше разность
. Тогда в качестве характеристики точности оценки можно взять некоторое
такое, что
.
Доверительной вероятностью оценки называется вероятность выполнения неравенства
. Доверительный интервал – это интервал, который накрывает неизвестный параметр
с заданной надежностью
. Чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка.
При неизвестном доверительный интервал для математического ожидания
СВ
имеет вид:
, (1.4)
где величина определяется по таблицам по заданному уровню значимости
(либо надежности
) и объему выборки
.
Доверительный интервал для задается неравенствами
, если
, (1.5)
либо
, если
. (1.6)
Величина определяется по таблице доверительных интервалов для
по доверительной вероятности
и объему выборки
.
Медианой называется вариант, который приходится на середину ряда распределения. При вычислении медианы дискретного ряда рассматриваются два случая: объем совокупности четный и нечетный. В первом случае применяется формула
, если
(
– объем совокупности). Если
, то медиана:
.
Модой называется вариант, который наиболее часто встречается. Мода – это вариант, которому соответствует наибольшая частота или частоты.
Эмпирической функцией распределения СВ называют функцию
,
где – число значений
меньших, чем
;
– объем выборки.
Эмпирическая функция распределения используется в качестве оценки функции распределения.
Для наглядности данные выборки можно представить графически в виде гистограммы, а также полигона относительных частот. Для построения гистограммы интервал наблюдаемых значений СВ разбивается над подынтервалы равной длины
, на каждом из которых строится прямоугольник с высотой
, где
– число значений СВ
из выборки, попадающих в рассматриваемый подынтервал. Ломаная, соединяющая точки пересечения середин подынтервалов с соответствующими высотами
, образуют полигон относительных частот.
Если форма гистограммы или полигона относительных частот напоминает кривую Гаусса, то можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении СВ . Для проверки того, что СВ
можно использовать следующие характеристики: асимметрию
и эксцесс
, где
.
Для нормального распределения ,
. По данным выборки объема
можно найти точечные оценки
и
:
,
, (1.7)
где , а также средние квадратичные ошибки и их определения
;
. (1.8)
Гипотеза о нормальности закона распределения СВ выдвигается, если
и
. В противном случае она отвергается.
После предварительного выбора закона распределения рекомендуется применять строгие критерии согласия.
1.3. Критерий -Пирсона
При проверке гипотезы о нормальном распределения СВ с помощью критерия
-Пирсона поступают следующим образом:
1) вычисляют вероятности попадания СВ
в подынтервалы
,
;
2) вычисляют выборочную статистику
; (1.9)
3) сравнивают с квантилем
, определяемым по таблицам по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы
, где
– число параметров предполагаемого распределения СВ
. Если
, то считают, что нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае гипотеза отклоняется.