а) общее резервирование
Надежность таких систем определяется числом резервных элементов, применяющихся на один рабочей элемент. Это число обозначается m и называется кратность резервирования
M = число резервных элементов / число основных элементов
При определении надежности резервных устройств мы предполагаем, что отказы его отд. элементов взаимно незаменимы, а так же резервируешиеся устройства имеют высокую надежностью. При этих допущения вероятность отказа устройства, состоящего из (m+1) параллельных ветвей, равна:
| m+1 Qm+1 = П qj j=1 | (5.1) |
где
qj вероятность отказа j элемента
Вероятность безотказной работы такого устройства
| m+1 Pm+1 = 1-Qm+1= 1- П qj J=1 | (5.2) |
Рассмотрим пример:
Система состоящая из двух систем параллельных ветвей с вероятностью q1 и q2. тогда Р=1-q1,q2
Q1 = 1-P1 Q2 = 1-P2
| P= P1 +P2 – P1P2 | (5.3) |
В том случае, если все элементы резервной системы одинаковы, то выражение 5.1 и 5.2
Записываются в следующем виде
| Qm+1 = q m+1 | (5.4) |
| Pm+1 = 1-qm+1 | (5.5) |
Вероятность безотказной работы системы состоит из последовательного соединения элементов
| n P = П Pi i=1 | (5.6) |
| n Q= 1-P = 1 - П Pi i=1 | (5.7) |
Найдем вероятность отказа устройства, состоящего из последовательно параллельно включающихся элементах.
Вероятность отказа такой системы
| m+1 n Q n,m+1 = П [1 - П Pij] i=1 j=1 | (5.8) |
| m+1 n Робш = Рn,m+1 = Qn,m+1 = П(1 - П Pij) i=1 j=1 | (5.9) |
Для устройства, состоящего из последовательно параллельно включающихся одинаковых элементах, можно записать
| Qобш = Q n,m+1 = (1- Рn)m+1=[ 1-(1-q)n]m+1 | (5.10) |
| Робш = 1-Qобш =1-(1- Р)n,m+1 | (5.11) |
Если выражение 5.10 разделить в биноминальный рад заменить m+1 = K и пренебречь членами высших порядков
| Qобш = [ 1-(1-q)n]r≈ nкqк | (5.12) |
(1-q)n = 1 – nq + (n(n-1) / 2!)q² - (n(n-1)(n-2) / 3!)q3
б) Раздельное резервирование
.
Обозначим через qi вероятность отказа участка резервирования, тогда вероятность отказа раздельного резервирования можно определить:
n
Qразд = 1 – ПPi Pi = 1-qi
i=1
при m – кратном резервировании, а с основным m+1 = Ki
| K qi = Пqj j=1 | (5.13) |
| n n к Qразд = 1 – П(1-q1) = 1- П(1-Пqj) i=1 i=1 j=1 | (5.14) |
Если все элементы в системе одинаковы, то
| Qразд = 1-(1-qк)n | (5.15) |
Если 5.15 в биноминальный ряд и отбросить члены высшего порядка, то
| Qразд ≈ n qk | (5.16) |
| Pразд = (1- Qk)n= [1-(1-p)k]n | (5.17) |
Сравним общее и раздельное резервирование в зависимости от числа участков n и кратности резервирования m и надежности элементов Р
K = Qобш / Qразд = nm+1qm+1/nqm+1=nm
Для примера n=50, P=0,9
Р = 0,005, m = 0
Робщ = 0,01, m =1
Рразд = 0,5, m = 1
При экспоненциальном распределении отказов
| Робщ = 1-(1-e-λtn)m+1 | (5.18) |
При раздельном резервировании вероятность отказа
| К= Рразд [ 1-(1-e-λt)к]n | (5.19) |
Чистота отказов
| fp(t) = d[1-p(t)]/dt = n(m+1)λoe-λot(1-e-λt)m [1-(1-e-λot)к]n-1 | (5.20) |
Интенсивность отказов
| Λр(t) = fp(t) / Pp(t) = n (m+1) λo e-λot(1-eλt)m / [ 1-(1-e-λt)k]n | (5.21) |
Среднее время безотказной работы можно найти интегрируя выражения для вероятности безотказной работы.
| Тср = ∫ Рр(t) dt = 1 / λo + 1 / 2λo + ….. + 1/ kλo = To (1 + ½ +…1/k) | (5.22) |
