Ранее мы получали статистические оценки, которые являются точечными и не являются абсолютно точными. Истинное значение параметра может быть как меньше так и больше.
Поэтому правильнее было бы указывать интервал, в пределах которого заключено истинное значение. Совершенно очевидно, что как бы широк этот интервал не был (в разумных пределах) утверждать со 100 % вероятностью, что истинное значение заключается в нем утверждать нельзя. Можно говорить об этом с той или иной долей вероятности.
Например: с вероятность 0,9 можно утверждать, что продолжительность жизни человека находится в интервале между 65 и 75 годами, а с вероятностью 0,99 между 50 и 80 годами.
Рассмотрим способы определения доверительных интервалов и критерия доверия, то есть вероятность того, что рассмотренный параметр заключен в указанных пределах.
Если из генеральной совокупности N взять несколько k выборок. n1,n2,…nk, и для каждой выборки определить параметр Тср1,Тср2,…Тсрк, то все они будут разными.
Причем отклонения Тср1,Тср2,…Тсрк от истинного значения Тср будут распределены по нормальному закону.
Параметры закона по статистической совокупности определяется по следующим формулам.
| n Тср*=∑ (ti/n) i=1 | (3.20) |
Несмещённая оценка
| n S* =√∑(ti-Tcp)/n-1 i=1 | (3.21) |
где
S* - несмешанная оценка
n
Среднеквадратичное отклонение σ = √ ∑(ti-Tcp)2 / n
i=1
Стандартное отклонение полученное из ряда выработок:
| σ* (Тср) = σ/√n | (3.22) |
где
n - число отказов
Приведенные выражения 3.22 позволяют непосредственно определить доверительный интервал. Для этого необходимо знать численные значения долговечности Тср и среднеквадратическое отклонение σ.
При числе отказов n от 20-30 принять что Тср = Тср*, σ = S*
Если мы зададимся доверительной вероятностью, то есть площадью под кривой, то можем определить предельное отклонение. И наоборот, задавшись шириной интервала, можно определить коэффициент доверия.
Установлено, что доверительной интервал будет минимальный, если площади под кривой плотности распределения f(t) в интервалах (-∞; - ε ][ ε;+∞) будет равны.
И если обозначить максимальное отклонение через Е то ширина интервала будет равна Тср± ε, а критерий доверия Р(Тср – ε ≤Тср≤ Тср+ε) =1-α
| Р(Тср – ε ≤Тср≤ Тср+ε) =1-α | (3.23) |
Вычисления критерия доверия, ведётся по обычной методике (по таблице интервала вероятности или функции Лапласа)
| γ=1- α = Ф [ε/σ(Тср)] = Ф [(ε √n)/σ *] = Ф[(ε √n)/S*] =Ф(Z)=2Фо(Z) | (3.24) |
Данная задача может решаться в двух вариантах
При первом варианте по выработанному значению γ вычисляется значение функции интервала вероятности, а затем вычисляется доверительный интервал ε.
| Е = (Z*S*)/√n | (3,25) |
Z = (E√n)/s*
Пример
В результате приведенных испытаний получили значения времени ti безотказной работы для 16 комплектов аппаратуры.
n
Т*ср = ∑ti/n, T*cp = 2000 часов
i=1
Несмещённая оценка:
S* = [√∑(ti – T*cp)2/(n-1)] = 340 часов
γ = 0,9 принимаем критерия доверия.
По таблице ф-ии Лапласа находим что 2Фо(z) =0,9 z=1.64
Зная аргумент функции z определяем доверительный интервал.
ε = 1,64*340/√16 = 140
1860<Tcp<2140 часов с вероятностью 0,9
Пример
Определить коэффициент доверия при заданном доверительном интервале.
примем доверительный интервал 50 часов ε = 50 часов
Z = (E√n)/s*=(50√16)/340
по таблице находим Фо(0,59) = 0,22
степень доверия:
γ = 2Фо(0,59)= 0,446
Данный метод может использовать, когда много данных об отказах и отказы постепенные и имеют нормальны закон распределения.
И случае экспоненциального закона или при малых количествах отказов пользуясь этой методикой, так как в этом случае Тср≠Тср, а σ≠S*
рассмотрим случаи, когда отказы распределения по нормальному закону, но число данных об отказах мало: в этом случае вводится ещё одна случайная велечена
| t = (Tcp*-Tcp)/ S* | (3.26) |
| n σ*(Tcp) = σ*/√n = S* =√(∑(ti – Tcp)2/n(n-1)) | (3.27) |
i=1
Случайная величена t подчиняется закону распределения Стьюдента. Особенность этого закона заключается в том, что он напрямую не зависит от σ, Тср, а зависит от числа отказов n
Задавшись доверительным интервалом tα можно найти коэффициент доверия. коэффициент доверия - вероятность того что искомое значение будет находится в интервалах от -tα до tα ([-tα; tα]). пользуясь распределением Стьюдента можно записать что:
| tα tα γ = P{- tα ≤ t ≤ tα} = ∫ Sn(t)dt= 2 ∫ Sn(t)dt -tα 0 | (3.28) |
tα
γ = P{-tαS*≤Tcp*-Tср≤ tαS*} = 2 ∫ Sn(t)td
tα = ε / S* = Tcp* -Tcp / S*
Затем по таблице значений Стьюдента в зависимости от tα, n можно найти коэффициент доверия γ или наоборот в зависимости от выбранного значения γнайти значение Е
| ε = tαS* | (3.29) |
В соответствии с данными предыдущего примера.
n
S* =√[∑(ti – Tcp)2/n(n-1)]; S* = 85
i=1
Примем γ = 0,9. тогда при n = 16 из таблицы распределения Стьюдента tα = 1,75
В соответствии с формулой 3.29 ε= 1,75 * 85 = 149ч.
Данный способ может использоваться при любом законе распределения отказов.
Рассмотрим определение доверительных интервалщв для Тср при экспоненциальном законе распределения при плане испытаний [N,Б,r] без замены элементов. из математики известно, что величина.
U = 2SБ(r) λ = 2Sб(r) / Tcp
Sб(r) – суммарное время исправной работы.
Из математики известно, что U распределена по закону с 2r степеней свободы.
Функция плотности распределения χ2 имеет вид
| n SБ (r) = ∑ti +(N-r)tr i=1 |
Вероятность того что U в пределах от χ21 до χ22 равна площади под кривой плотности распределения f2r(U) и ограниченная значением χ21, χ22
в общем виде:
χ22 ∞ ∞
γ = P{ χ21 ≤ U ≤ χ22 } = ∫ f2r (U) dU = ∫ f2r(U) dU-∫f2r(U)dU (3.30)
χ21 χ21 χ22
∞
Интервал ∫f2r(U)dU – табулирован
χ22
Точка образа зависимости λн,λв, вычисляется значением χ21 и χ22 по таблице определяем коэффициента доверия.
Чаще стоит задача по значению доверительной вероятности γ найти λн,λв
Установлено что доверительный интервал будет минимальный если площадь под кривой f2r(U) в интервалах [ 0, χ21],[ χ22;∞)
Тогда абсцисса χ21, χ22 соответственно ограниченивают площади
0,5(1+γ); 0,5 (1-γ)
Последовательность определения доверительных интервалов сводится к следующему: задавшись коэффициентом доверия γ, определяют площади 0.5(1+γ); 0.5 (1-γ) и зная число степеней свободы 2r по таблице χ2 распределения находим значение χ21 и χ22. Доверительные оценки λн,λв могут быть найдены и следующие неравенства.
| χ21 (2r) ≤ 2SБ(r)λ ≤ χ22 (2r) | (3.31) |
Заменив ≤ на = можно записать
| λn = χ21 (2r) / 2SБ(r) | (3.32) |
| λв = χ22 (2r) / 2SБ(r) | (3.33) |
Тов = 1/λn; Тон = 1/ λв наработка на отказ
