В процессе хранения и работы аппаратуры происходят физико-химические изменения свойств материалов, которые в свою очередь вызывает изменения параметров элементов: резисторов, емкости С, коэффициентов усиления транзисторов и ламп, то есть происходит старение и износ элементов.
Когда параметры элементов выходят за пределы поля допуска, наступает отказ.
Обычно это параметрические отказы, которые так или иначе нарушают нормальную работу системы. Все элементы имеют определенный срок службы, на этот срок службы влияют множество факторов, поэтому результирующий закон изменения времени безотказной работы будет иметь нормальный характер, частота отказов которого будет иметь следующий вид.
При нормальном законе распределения за время tср отказывает половина элементов. Для сравнения при экспоненциальном законе за Тср отказывает 63 % элементов.
Дифференциальный закон нормального распределения времени исправной работы записывается.
| -(t –Tcp)2 / 2 σ2 f(t) = 1/σ *√2п * e -∞< t < ∞ | (2.26) |
где
Тср долговечность элемента или среднее время безотказной работы.
m
σ среднеквадратическое отклонение σ = √ ∑ (ti – Tcp)2 * pi где
i=1
m общие число значений ti
pi вероятность того что, что случайное время работы i-го элемента будет равна ti
Тср определяет значение max на оси времени, а значение σ определяет высоту кривой
Если σ1 > σ2 то f1(t)> f2(t)
f(t) = (1/To) * e- t / To= λe-λt
∞
∫ f(t) dt =1
Эти графики представляют собой плотности вероятности времени безотказной работы
t t
Вероятность отказа это площадь под кривой при ∫, вероятность отказа -∫
0 0
При нормальном распределении вероятность отказа
| t t -(t – Tcp)2 / 2σ2 Qп(t) = ∫f(t)dt = (1 / σ √ 2π) ∫ e dt 0 0 | (2.27) |
Этот интеграл не берущийся, но он табулирован и приведен в справочниках.
Так как значение Тср для всех элементов разные, то переход к нормирующему. и центрирующему. распределения
U = t – Tcp/σ =>σdU = dt
Тогда
| u -u2 / 2du Qп(t) = (1 /√ 2 π) ∫ e = Ф(U) | (2.28) |
Выражение (2.28) табулировано и известно под названием функции Лапласа или Гауссовского интервала ошибок, или интеграла вероятности.
Функция Лапласа нечетная
| Ф(-u) = -Ф(u) | (2.29) |
Функция симметрична относительно Тср Поэтому Ф(0) = 0,5
| Ф(u) = Ф0(u) +1/2 | (2.30) |
Эта функция нормированная и ценотрированная.
Пример:
Найти вероятность отказа аппаратуры при следующих параметрах
Тср = 10000часов, σ = 3000часов. Найти вероятность отказа системы Qп(t) для 7000, 10000, 13000 часов
U1 = t-Tcp / σ = 7000 – 10000 / 3000 = -1
U2 = 10000 – 10000 / 3000 = 0
U3 = 13000 – 10000 / 3000 = 1
Qп (7000) = Ф(-1) = - Фо 0,3413(1) + 0,5 = 0,1587
Qп (10000) =Ф(0) = 0+1/2 = 0,5
Qп (13000) = Фо(1) +1/2 = 0,8413
Вероятность безотказной работы системы, содержащей N последовательно соединенных элементов, по теореме умножения вероятности равна.
| N Pп(t) = П [ 1 – Ф j(u)] j=1 | (2.31) |
Вероятность отказа системы
| N Qп(t) = 1- Pn(t) =П [ 1 – Фj(u)] j=1 | (2.32) |
Если элементы в системе сгруппированы по надежности в К групп, с числом элементов N j в группе то вероятность отказа в такой системе
| K Nj Р(t) = П [1 – Фj(u)] j=1 | (2.33) |
Тогда можно рассчитать надёжность работы аппаратуры с учетом старения
| K K Nj P(t) = Рв(t) Pn(t) = e-t ∑ λi(ν)NiП [1 – Фi(u)] i=1 i=1 Рв(t) – внезапный отказ; Pn(t) – постепенный отказ. | (2.32) |
Частота отказа такого устройства
f(t) = f1(t) P2(t) + f2(t) P1(t)
построим графики этих функций для внезапных отказов Pв(t) и Pп(t) – для износовых. Для десяти равнонадежных элементов No = 10 с инт. отказов
-6
λ(ν) = 10 * 10 1/ч среднее время безотказной работы Тср = 10000 часов
σ = 2000 часов
Для чего нужен расчет с учетом старения, если мы раньше говорили, что аппаратура эксплуатируется до износа. Обычно в любой аппаратуре имеются элементы, которые изнашиваются быстрее других и которые влияют на надежность аппаратуры в целом (например электрические лампы)
эти элементы заменяются и аппаратура работает дольше. При такой замене возникает очень интересный процесс. Рассмотрим его на примере.
Возьмем 10000 ламп со средним временем работы
Тср = 7200 часов и σ = 600 часов.
График распределения отказов в этом случае будет иметь следующий вид.
99.7% ─ ± 3σ
Это означает, что За время от 5400 до 9000 часов откажет 9970 ламп следовательно уже приблизительно через 5000 часов лампы будут заменяться новыми и работу будут включатся лампы следующего поколения. Через 7200 откажет половина ламп, а через 14400 часов второй max min отказов, то есть график будет иметь вид
Так как лампы включены в работу не одновременно, то при 2Тср σ2>σ1 и σ2= σ1
через t = 3Тср, σ3 =3σ1
В итоге при t= 4Тср число отказов будет постоянно, то есть получаем экспоненциальный закон при 4Тср, но носят только условный характер.
Число отказов становится постоянным при
n = Tcp / 3j,t = nTcp,
где
n = 7200/1800 = 4
Интенсивность отказов становится равной λn = 1/Tcp
Для чего нужны эти расчеты. Главным образом для того чтобы выбрать правильные сроки профилактики, для недопущения Износовых отказов.
Такие расчеты в редких случаях, так как отсутствует необходимость статистики по срокам службы элементов и их разбросам. Оринтеровачные сроки профилактики можно определить по значению σ, если мы будем проводить профилактику через t = Tcp - 3 σ, то Q(t) = 0,00135
Если через t = Tcp - 4σ, то Q(t) = 0,000317
Если через t = Tcp - 5 σ, то Q(t) = 0,000000287
Вероятность отказа вроде бы невелика, но если взять систему из большого числа элементов, то профилактики должны производится с интервалом времени не больше, чем через t = Tcp - 4 σ, и t = Tcp - 5 σ,
Пример
Если у самолета менять двигательчерез
t = Tcp - 3 σ, Q(t) = 0,00135
Тср = 1000 часов
σ = 200 часов
tпроф = 400 часов
Тогда приблизительно на 700 полетов будет приходится 1 отказ.
Q(t) = n(Δt) / n
700 = 1 / 0,00135
