4.2.1. Математическое описание динамики системы
Момент электродвигателя линейно зависит от его скорости в тех случаях, когда момент статический является постоянным и механическая характеристика двигателя либо линейна, либо электродвигатель работает на линейном участке нелинейной механической характеристики. Следовательно, приведенное ниже математическое описание имеет смысл для электроприводов с двигателями независимого возбуждения и с асинхронными двигателями, работающими на линейном участке характеристики, то есть при скольжениях, меньших критического.
Электромеханические переходные процессы в перечисленных электроприводах являются простейшими, но встречаются достаточно часто, так как типичны для приводов малой мощности и приводов с реостатным пуском и регулированием скорости. Рассмотрим математическое описание системы для перечисленных выше случаев на примере электропривода с электродвигателем постоянного тока независимого возбуждения.
С учетом сделанных выше допущений система электропривода описывается следующими уравнениями:
М = Мс + J dw / dt, (4.1)
U = КФw + МR /(КФ)2, (4.2)
где U - напряжение питания электродвигателя;
I - ток якоря;
R - активное сопротивление якорной цепи;
J - момент инерции привода, приведенный к валу двигателя.
Подставим в (4.1) вместо момента М его значение из (4.2) и после алгебраических преобразований получим:
dw U Мс R
JR / (КФ)2 ¾ + w = ¾¾ - ¾¾; (4.3)
dt КФ (КФ)2
U Мс R
¾¾ - ¾¾ = w о- Dw с = w уст; (4.4)
КФ (КФ)2
Тогда из (4.3) получаем:
dw
JR / (КФ)2 ¾ + w = w уст. (4.5)
dt
Обозначим JR / (КФ)2 = Тм.
Тм называется электромеханической постоянной времени электропривода. Рассмотрим ее физический смысл. Из уравнения механической характеристики двигателя следует, что
R / (КФ)2 = w о / Мкз,
то есть электромеханическую постоянную времени можно представить в виде:
Тм = J w о / Мкз. (4.6)
Известно, что
Мд = J dw /dt. (4.7)
Перейдем в (4.7) от бесконечно малых к конечным приращениям, что допустимо при постоянном динамическом моменте и постоянном ускорении привода, и получим
Мд = J Dw /Dt. (4.8)
Пусть скорость изменяется от 0 до скорости идеального холостого хода, то есть Dw = w о. Из (4.8) определим время этого изменения:
Dt = Jw о / Мд. (4.9)
Из сравнения (4.6) и (4.9) следует, что время Dt будет равно электромеханической постоянной времени, если динамический момент, воздействующий на электропривод, будет равен моменту Мкз короткого замыкания. Отсюда следует физический смысл постоянной времени: Тм – это время, за которое электропривод с моментом инерции J при статическом моменте, равном нулю, достиг бы скорости идеального холостого хода, если бы динамический момент в процессе разгона был постоянным и равным моменту короткого замыкания.
Следовательно, равенство времени пуска электромеханической постоянной времени возможно в случае, когда механическая характеристика имеет вид, представленный на рис.4.1 штрих-пунктирной линией, но в реальных системах пуск электродвигателя осуществляется по характеристике 1 рис.3.1, то есть динамический момент изменяется от Мкз до нуля. Поэтому обычно время пуска составляет (3-4) Тм.
 |
Рис.4.1. Статические пусковые характеристики электродвигателя
Принимая во внимание сделанное обозначение, (4.6) можно представить в виде:
Тм dw /dt + w = wуст. (4.10)
Решение этого уравнения, после определения из начальных условий постоянных интегрирования и алгебраических преобразований, имеет вид:
w = w с + (w нач - w с) e -t/Tм. (4.11)
Так как момент двигателя и его скорость связаны линейно, то уравнение для определения момента аналогично (4.11):
М = Мс + (Мнач - Мс) е/Тм . (4.12)
Уравнения (4.11) и (4.12) справедливы для всех переходных процессов: пуска, торможения, реверса, сброса и наброса нагрузки при условии выполнения всех, сделанных выше, допущений. Однако для каждого конкретного случая необходимо определить собственные значения начальных и статических моментов, скоростей и постоянных времени Тм.
Зависимости (4.11) и (4.12) являются экспоненциальными и, теоретически, скорость и момент достигают установившихся значений через бесконечно большой промежуток времени. Практически переходный процесс считается законченным, когда момент и скорость достигнут величины (0,95 – 0,98) от установившихся.
Рассмотрим основные динамические режимы для электрических машин, работающих на линейных участках характеристик.
4.2.2. Прямой пуск электродвигателя
Пусть пуск осуществляется при Мс = 0. При включении двигателя в сеть скорость его не может измениться мгновенно, и в первый момент пуска она равна нулю. Так как в данном случае не учитывается индуктивность цепи, то ток и момент можно считать изменяющимися мгновенно, то есть в начальный момент времени момент электродвигателя достигает значения момента короткого замыкания. На рис.4.2а приведена статическая механическая характеристика двигателя, по которой осуществляется его пуск. При этом:
Мнач = Мкз; w нач = 0;
Мс = 0; w с = w о;
 |
а) б)
Рис.4.2. Характеристики электродвигателя при прямом пуске
Кривые переходных процессов (переходные функции) приведены на рис.4.2б. Здесь максимальное значение ускорения и момента имеют место при t = 0.
В связи с тем, линейные механические характеристики являются достаточно жесткими, ток и момент короткого замыкания в таких электроприводах могут в 15 – 20 раз превышать номинальные значения. Поэтому для электрических машин независимого возбуждения и асинхронных с фазным ротором (при отсутствии других способов регулирования скорости) обычно применяется реостатный пуск.
4.2.3. Реостатный пуск электродвигателя
При этом электрическая схема имеет вид, приведенный на рис.4.3, то есть в якорную цепь двигателя включаются несколько ступеней пускового реостата (необходимо помнить, что пусковой реостат предназначен для кратковременной работы и не может быть использован для регулирования скорости), которые в процессе пуска шунтируются контакторами Т1, Т2. Замыкание контакторов происходит через заданные промежутки времени (с помощью реле времени) или в зависимости от величины тока или скорости электродвигателя.
Пусть в данном случае статический момент отличен от нуля и добавочные сопротивления выбраны таким образом, что переключения происходят при Мкз и М2. В начальный момент времени в якорную цепь введены обе ступени реостата и разгон начинается по реостатной характеристике 1 рис.4.4а.
Рис.4.3. Принципиальная схема реостатного пуска электродвигателя
При этом Мнач = Мкз; w нач = 0; установившимся значением момента является момент статический, а установившимся значением скорости – статическая скорость на характеристике 1.
 |
а) б)
Рис.4.4. Характеристики электродвигателя при реостатном пуске
При М = М2 замыкается контактор Т1, шунтируя первую ступень реостата. Так как скорость двигателя, в результате наличия инерционных масс, не может измениться мгновенно, то при данной скорости мгновенно изменяется момент двигателя (L = 0) и рабочая точка перемещается на вторую реостатную характеристику 2 рис.4.4а. При этом Мнач = Мкз; w нач = w п1; установившимся значением момента является момент статический, а установившимся значением скорости – статическая скорость на характеристике 2.
При М = М2 замыкается контактор Т2, шунтируя вторую ступень реостата и двигатель переходит на естественную характеристику «ест» рис.4.4а. При этом Мнач = Мкз; w нач = w п2; установившимся значением момента является момент статический, а установившимся значением скорости – статическая скорость на естественной характеристике.
Кривые переходных процессов при описанном двухступенчатом реостатном пуске приведены на рис.4.4б.
Из (4.12) можно определить время работы двигателя на i–ой реостатной характеристике при изменении момента от Мкз до М2:
t i = Тм i ln (М1 – Мс) / (М2 – Мс). (4.13)
Из (4.13) следует, что время работы двигателя на данной реостатной характеристике пропорционально Тм, то есть при уменьшении сопротивления в якорной цепи двигателя уменьшается Тм и время переходного процесса.
Общее время реостатного пуска определяется следующим образом:
п
t п =å Тм i ln (М1 – Мс) / (М2 – Мс), (4.14)
i=1
где п – общее число ступеней реостата.
Методика расчета ступеней пускового реостата приведена в [7].
4.2.4. Режим противовключения
Режим противовключения используется для двух случаев: для торможения и для реверса электродвигателя. Рассмотрим оба эти случая.
Торможение противовключением. Прежде всего необходимо помнить, что режим противовключения сопровождается токами и моментами значительной величины. Поэтому перед его началом в якорную или роторную цепь двигателя обязательно вводится добавочное токоограничивающее сопротивление [7].
Пусть двигатель работает на характеристике 1 рис.4.5а при моменте Мс статическом и скорости w с. Для осуществления противовключения у двигателей независимого возбуждения изменяется полярность напряжения питания, а у асинхронных – производится изменение чередования фаз. При этом электродвигатель должен перейти на реверсивную характеристику 2 рис.4.5а. Из-за наличия инерционных масс скорость его не может измениться мгновенно, а момент изменяется скачкообразно, так как в данном случае не учитывается индуктивность рассматриваемой цепи. Следовательно, двигатель переходит на характеристику 2 рис.4.5а в точку с координатами (М1; w с). Происходит торможение по характеристике 2. При скорости, равной нулю (в реальных системах при скорости, близкой к нулю) двигатель отключается от сети и на его вал накладывается электромеханический тормоз.
 |
а) б)
Рис.4.5. Характеристики электродвигателя при торможении противовключением
Таким образом (рис.4.5а), Мнач = Мс; w нач = w с; а новыми установившимися значениями являются момент Мс и скорость w ср на характеристике 2. Из рис.4.5а видно, что точка нового установившегося режима расположена в зоне рекуперации. В результате того, что при w = 0 двигатель отключается от сети, новый установившийся режим не достигается.
Кривые переходных процессов для этого случая приведены на рис.4.5б.
Реверс электродвигателя. Форма кривых переходных процессов при реверсе определяется типом статического момента, который может быть активным или реактивным. Рассмотрим оба случая.
При активном статическом моменте. Пусть двигатель работает на характеристике 1 рис.4.6а при моменте статическом Мс и скорости w с.
а) б)
Рис.4.6. Характеристики электродвигателя при его реверсе с активным статическим моментом
В начальный момент электродвигатель, по указанным выше причинам, переходит на реверсивную характеристику в точку с координатами (М1; w с). Сначала происходит торможение электродвигателя, а затем его разгон в противоположную сторону. Так как момент статический является активным, то новым установившимся режимом будет режим рекуперации. В действительности такому переходному режиму соответствует ситуация, когда в приводе грузоподъемного механизма электродвигатель был включен на подъем, а затем произведено переключение на спуск груза. При этом момент двигателя и момент статический направлены согласно, скорость двигателя превышает скорость идеального холостого хода, двигатель работает в режиме рекуперации и отдает энергию в сеть.
В этом случае (рис.4.6а) Мнач = Мс; w нач = w с; а новыми установившимися значениями являются момент Мс и скорость w ср на характеристике 2. Соответствующие этому режиму кривые переходных процессов приведены на рис.4.6б.
При реактивном статическом моменте. Переходный процесс начинается так же, как и в предыдущем случае, то есть рабочая точка электродвигателя перемещается с характеристики 1 рис.4.7а на реверсивную характеристику и двигатель начинает торможение. До тех пор, пока скорость его не станет равной нулю (рис.4.7а), Мнач = Мс; w нач = w с; а новыми установившимися значениями являются момент Мс и скорость w ср на характеристике 2.
 |
а) б)
Рис.4.7. Характеристики электродвигателя при его реверсе с реактивным статическим моментом
Однако при скорости, равной нулю, момент статический, будучи реактивным, меняет свой знак, что влечет за собой изменение установившихся значений момента и скорости. В связи с этим при w = 0 кривые переходных процессов имеют излом и дальнейшие расчеты должны производиться с новыми начальными и установившимися значениями моментов и скоростей,а именно: установившимся значением момента становится Мср = -Мс; установившимся значением скорости w ср1 – скорость, соответствующая моменту Мср. Начальными значениями на втором этапе являются: w = 0 и момент М2, соответствующий этой точке (рис.4.7а).
Построенные из этих соображений кривые переходных процессов приведены на рис.4.7б.
4.2.5. Динамическое торможение
Пусть электродвигатель работает на естественной механической характеристике 1 рис.4.8а при М = Мс и w = w с.
а) б)
Рис.4.8. Характеристики электродвигателя при динамическом торможении
После необходимых переключений на начало торможения рабочая точка электрической машины перемещается на характеристику 2 рис.4.8а при неизменной скорости и скачкообразном изменении момента. Происходит торможение двигателя до скорости, равной нулю. Однако, исходя из уравнения движения электропривода, установившимся значением момента здесь является момент статический, а установившимся значением скорости – скорость w ср, соответствующая Мс на характеристике динамического торможения в четвертом квадранте. Если статический момент является реактивным, то при достижении нулевой скорости электродвигатель остановится. При активном статическом моменте двигатель начнет разгон в противоположную сторону по характеристике динамического торможения до точки нового установившегося режима с координатами (Мс; w ср). Поэтому при наличии на валу активного статического момента при скорости, близкой к нулю, на вал двигателя должен быть наложен электромеханический тормоз.
Переходные функции при динамическом торможении приведены на рис. 4.8б, где штрих-пунктирной линией показан процесс разгона электродвигателя в противоположном направлении.
