Волновое уравнение для электромагнитной волны. Рассмотрим нейтральную непроводящую среду с проницаемостями e и m, где 
и 
(54). Поскольку в данном случае плотности токов и зарядов равны нулю (r =0, j =0), уравнения Максвелла в дифференциальной форме будут иметь вид
(I) 
(II)
(III) 
(IV).
Подставим в уравнение (III) и продифференцируем его по времени:
,
где мы использовали правило преобразования двойного векторного произведения («bac-cab»):
.
Из (IV) уравнения Максвелла и равенства (54) следует, что 
, и в результате остается волновое уравнение для вектора 
(и для вектора 
, если по тому же рецепту продифференцировать уравнение (I) и т. д…)
, (55)
. (56)
Множитель при второй производной по времени определяет скорость распространения волны
, (57)
что для вакуума (e =1, 
=1) дает удивительный результат: скорость волны равна скорости света
. (58)
Таким образом, из уравнений Максвелла следует, что свет является электромагнитной волной. И наоборот, переменное электромагнитное поле в вакууме распространяется со скоростью света, независимо от своей частоты! Рассмотрим простейшую электромагнитную волну.
Плоская электромагнитная волна. Пусть плоская волна распространяется вдоль оси х. Поскольку волновые поверхности (плоскости) будут в этом случае перпендикулярны оси х, то векторы и , а Þ и их проекции на оси y и z не будут зависеть от y и z (иначе волна не могла бы распространяться строго в направлении оси х). Следовательно, в уравнениях Максвелла (I-IV) производные по y и z будут равны нулю и уравнения упрощаются. Чтобы это показать, распишем уравнения Максвелла (rot - с помощью определителей), оставив во всех уравнениях только векторы и , что легко сделать с учетом (54).
(I)
(III)
(IV)
(II)
Распишем векторные уравнения (I) и (III) в проекциях, и то, что осталось от уравнений (IV) и (II) (должно быть всего 8 скалярных уравнений):
, Þ 
; (I)
Хочется в этом месте Вас подбодрить, но ничего утешительного сказать не могу,- идём дальше! Будьте внимательны! По разные стороны от знака (=) проекции на разные оси!
, Þ 
; (III)
Ничего, что в верхних уравнениях (ох:...) в рамках опущены не равные нулю множители?
(IV) 
(II).
Из проекций на ох в (I) и (III) следует, что Н х и Е х не зависят от времени, а из (IV) и (II) - что эти проекции не зависят также и от х. Следовательно, Н х и Е х могут быть только постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. Они не будут распространяться и поэтому не будут нас в дальнейшем интересовать. Во всяком случае, переменные Н х и Е х равны нулю. Следовательно, отличными от нуля переменными компонентами векторов и остаются только их проекции на оси y и z, которые перпендикулярны направлению распространения, следовательно, электромагнитная волна является поперечной. Кроме, того, векторы и ортогональны между собой. Действительно, выпишем рядом третье уравнение из рамки (I) и второе из (III):
; 
(59)
Из рассмотрения этой пары видно, что изменение во времени поля вдоль оси z порождает электрическое поле вдоль оси y и наоборот: изменение электрического поля вдоль оси y порождает магнитное поле вдоль оси z. При этом не возникает ни поле Ez, ни поле Hy. А это и значит, что ^ . Векторы и в электромагнитной волне взаимно ортогональны! Из полученной пары (59) нетрудно получить волновое уравнение, например, продифференцировать первое из них по координате, а второе по времени. После чего будет легко увидеть, что вторые производные от Ey по времени и координате связаны волновым уравнением
, (60)
и аналогично можно получить волновое уравнение для H z
. (61)
Ранее из уравнений Максвелла были получены волновые уравнения (55,56) в более общем случае, что позволяет уравнения (60,61) написать для любой проекции. Но тогда мы потеряли бы информацию о геометрии волны.
Как связаны мгновенные значения и ? Пусть Ey = Ey (t-x/с), Hz= Hz (t-x/с). Обозначим фазу φ ≡(t-x/с) и вычислим производные: от Ey по координате х; от Hz по времени:
; 
.
Подставим эти производные в первое из уравнений (59)
,Þ
, где константа обусловлена наличием постоянной компоненты полей. Нас интересует только переменное поле, для которого положим const =0, Þ
. (62)
 |  | ||
Это означает, что векторы
и изменяются синхфазно, в частности, одновременно обращаются в нуль и достигают максимумов/минимумов. Кроме того, эти векторы составляют правовинтовую систему с направлением распространения (рис.14). По этим свойствам и направлению распространения волны можно однозначно определить в каких именно плоскостях колеблются векторы и ( - в плоскости xy; - в плоскости xz), поэтому уравнения плоской электромагнитной волны принято записывать без указания проекций:
Е=Em cos (wt-kx); H=Hm cos (wt-kx). (63)
NB! Обратите внимание! На рис.14 изображена электромагнитная волна: векторы и в каждой точке оси х в некоторый момент времени! Через время, равное половине периода колебаний картина изменится (рис.15). Вообще картина непрерывно изменяется не только в пространстве, но и во времени!
Полезный совет: обратите внимание сейчас, что изображенные на рис. 14 и 15 мгновенные фотографии волны позволяют наглядно увидеть, что вектор в процессе распространения волны все время колеблется в плоскости xy! Поэтому данная волна является плоско-поляризованной! Обязательно вернитесь к этим картинкам позже, когда мы будем изучать поляризованный свет.
