Логистический рост

Рассмотрим более общий случай по сравнению с п.1. Пусть – убывающая функция , т.к. с увеличением выпуска рынок насыщается и цена будет падать.

В результате рассуждений аналогичных п.1 получим уравнение

, (5)

где . Уравнение (5) автономное ДУ. Поскольку , то возрастающая функция.

Автономными ДУ называются ур-я, в которые явно не входит независимая переменная время :

. (6)

Это означает неизмен ность законов, по которым развивается экономическая система в рассматриваемый промежуток времени. Такие уравнения часто встречаются в различных вопросах экономической динамики.

Если корень уравнения , то является решением уравнения (6). Такое решение называется стационарным.

Возьмем, например, . Тогда уравнение (6) принимает вид:

(7)

Из (7) следует, что , если у=0 или , а также , а

, т.е направление выпуклости такое, как на рис.1.

Рис.1

Разделяя переменные в (7) получим

.

. Разрешая последнее уравнение относительно , получим

. (8)

График функции (8) называется логистической кривой. Она также описывает некоторые модели распространения информации (рекламы), динамику эпидемий, процессы размножения бактерий в ограниченной среде обитания и т.д.

Из графика логистической кривой (рис.3) видно, что при малых логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших характер рота меняется, темпы роста замедляются, и кривая асимптотически приближается к прямой , которая является стационарным решением уравнения (7) и соответсвует случаю .

Рис.2

Рис.3