Основні поняття.Диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальні рівняння (ДР) застосовують для розв’язання різних задач математики, природознавства, техніки, економіки.
Означення 1. Рівняння, яке пов’язує незалежну змінну 
з невідомою функцією 
та її похідними різних порядків, називається диференціальним рівнянням.
Приклад 1. а) 
; б) 
; в) 
.
Означення 2.Найвищий порядок похідної, яка входить в рівняння, називається порядком ДР.
Рівняння з прикладу 1 а) –1-го порядку; б)– 3-го; в) –2-го.
Загальний вигляд ДР 1-го порядку
.
Якщо його можна розв’язати відносно 
, то вигляд ДР
(1)
називається нормальною формоюі ДР першого порядку. Припускається, що 
- відома функція, яка задана на деякій множині 
площини 
.
Означення 3. Розв’язком (частинним розв’язком) ДР (1) називається будь-яка функція, яка при підстановці її в це рівняння обертає його на тотожність відносно.Рівняння, яке визначає цей розв’язок як неявну функцію називається інтегралом (частинним інтегралом) ДР (1).Графікрозв’язку називається інтегральною кривою.
Приклад 2. а) Розв’язком ДР
(2)
є функція 
, де С – довільна стала, оскільки після підстановки цього 
та 
в рівняння (2) одержимо тотожність
.
б)Розв’язком ДР
(3)
є функція 
, де 
– довільні сталі, оскільки 
, та після підстановки цього 
в рівняння (3) одержимо тотожність 
.
Розв’язок (інтеграл) ДР, який залежить від довільних сталих, називається загальним розв’язком (інтегралом) ДР. Функції , є відповідно загальними розв’язками ДР (2), (3).
Розв’язок (інтеграл) ДР, який відповідає конкретним значенням довільних сталих, називається частинним розв’язком (інтегралом) ДР.
Означення 4. Розв’язок 
ДР.(1) задовольняє початковій умові 
, якщо
,
– задані числа; 
.
З геометричної точки зору це означає, що інтегральна крива проходить через точку .
Приклад 3. Розглянемо ДР 
. Зрозуміло, що розв’язання цього рівняння зводиться до знаходження первісної функції 
. Тому розв’язком буде функція
,
Рис.ДР_1 | де С – довільна стала. Знайдемо тепер розв’язок, який задовільняє початковій умові  . Маємо  .
 .Отже, розв’язок  зодовільняє заданій початковій умові.
Рис.ДР_1 ілюструє також той факт, що ДР 1-го порядку має нескінченну множину розв’язків– сім’ю (семейство) інтегральних кривих, які залежать від параметру С, та в даному прикладі є сім’єю
парабол, які утворені з параболи  паралельним перенесенням уздовж осі Оу
Задачею Коші (задачею з початковою умовою) для ДР.(1) називається задача відшукання розв’язку ДР (1), який задовольняє початковій умові, що задана:
|
Має місце теорема.
Теорема 1.(достатня умова єдиного розв’язку задачі Коші). Якщо функція 
неперервна в області і має в цієї області обмежену частинну похідну 
, а точка 
то задача з початковою умовою має єдиний розв’язок.
Розв’язок задачі Коші є частинним розв’язком ДР (1).
