Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒиференц≥альн≥ р≥вн€нн€




ќсновн≥ пон€тт€.ƒиференц≥альн≥ р≥вн€нн€ першого пор€дку

ƒиференц≥альн≥ р≥вн€нн€ (ƒ–) застосовують дл€ розвТ€занн€ р≥зних задач математики, природознавства, техн≥ки, економ≥ки.

ќзначенн€ 1. –≥вн€нн€, €ке повТ€зуЇ незалежну зм≥нну з нев≥домою функц≥Їю та њњ пох≥дними р≥зних пор€дк≥в, називаЇтьс€ диференц≥альним р≥вн€нн€м.

ѕриклад 1. а) ; б) ; в) .

ќзначенн€ 2.Ќайвищий пор€док пох≥дноњ, €ка входить в р≥вн€нн€, називаЇтьс€ пор€дком ƒ–.

–≥вн€нн€ з прикладу 1 а) Ц1-го пор€дку; б)Ц 3-го; в) Ц2-го.

«агальний вигл€д ƒ– 1-го пор€дку

.

якщо його можна розвТ€зати в≥дносно , то вигл€д ƒ–

(1)

називаЇтьс€ нормальною формою≥ ƒ– першого пор€дку. ѕрипускаЇтьс€, що - в≥дома функц≥€, €ка задана на де€к≥й множин≥ площини .

ќзначенн€ 3. –озвТ€зком (частинним розвТ€зком) ƒ– (1) називаЇтьс€ будь-€ка функц≥€, €ка при п≥дстановц≥ њњ в це р≥вн€нн€ обертаЇ його на тотожн≥сть в≥дносно.–≥вн€нн€, €ке визначаЇ цей розвТ€зок €к не€вну функц≥ю називаЇтьс€ ≥нтегралом (частинним ≥нтегралом) ƒ– (1).√раф≥крозвТ€зку називаЇтьс€ ≥нтегральною кривою.

ѕриклад 2. а) –озвТ€зком ƒ–

(2)

Ї функц≥€ , де — Ц дов≥льна стала, оск≥льки п≥сл€ п≥дстановки цього та в р≥вн€нн€ (2) одержимо тотожн≥сть

.

б)–озвТ€зком ƒ–

(3)

Ї функц≥€ , де Ц дов≥льн≥ стал≥, оск≥льки , та п≥сл€ п≥дстановки цього в р≥вн€нн€ (3) одержимо тотожн≥сть .

–озвТ€зок (≥нтеграл) ƒ–, €кий залежить в≥д дов≥льних сталих, називаЇтьс€ загальним розвТ€зком (≥нтегралом) ƒ–. ‘ункц≥њ , Ї в≥дпов≥дно загальними розвТ€зками ƒ– (2), (3).

–озвТ€зок (≥нтеграл) ƒ–, €кий в≥дпов≥даЇ конкретним значенн€м дов≥льних сталих, називаЇтьс€ частинним розвТ€зком (≥нтегралом) ƒ–.

ќзначенн€ 4. –озвТ€зок ƒ–.(1) задовольн€Ї початков≥й умов≥ , €кщо

,

Ц задан≥ числа; .

« геометричноњ точки зору це означаЇ, що ≥нтегральна крива проходить через точку .

ѕриклад 3. –озгл€немо ƒ– . «розум≥ло, що розвТ€занн€ цього р≥вн€нн€ зводитьс€ до знаходженн€ перв≥сноњ функц≥њ . “ому розвТ€зком буде функц≥€

,

 
 

 

 


 

 

–ис.ƒ–_1

де — Ц дов≥льна стала. «найдемо тепер розвТ€зок, €кий задов≥льн€Ї початков≥й умов≥ . ћаЇмо . .ќтже, розвТ€зок зодов≥льн€Ї задан≥й початков≥й умов≥. –ис.ƒ–_1 ≥люструЇ також той факт, що ƒ– 1-го пор€дку маЇ неск≥нченну множину розвТ€зк≥вЦ с≥мТю (семейство) ≥нтегральних кривих, €к≥ залежать в≥д параметру —, та в даному приклад≥ Ї с≥мТЇю парабол, €к≥ утворен≥ з параболи паралельним перенесенн€м уздовж ос≥ ќу «адачею  ош≥ (задачею з початковою умовою) дл€ ƒ–.(1) називаЇтьс€ задача в≥дшуканн€ розвТ€зку ƒ– (1), €кий задовольн€Ї початков≥й умов≥, що задана:

ћаЇ м≥сце теорема.

“еорема 1.(достатн€ умова Їдиного розвТ€зку задач≥  ош≥). якщо функц≥€ неперервна в област≥ ≥ маЇ в ц≥Їњ област≥ обмежену частинну пох≥дну , а точка то задача з початковою умовою маЇ Їдиний розвТ€зок.

–озвТ€зок задач≥  ош≥ Ї частинним розвТ€зком ƒ– (1).





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 748 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

“ак просто быть добрым - нужно только представить себ€ на месте другого человека прежде, чем начать его судить. © ћарлен ƒитрих
==> читать все изречени€...

2278 - | 2019 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.008 с.