Естественный рост

Пусть объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени . Предполагается, что цена этой продукции фиксирована (выполняется условие ненасыщенности рынка).Тогда прибыль к моменту времени составит

Обозначим величину инвестиций, направленных на расширение производства. В модели естественного роста предполагается, что скорость выпуска продукции(акселерация) пропорциональна величине инвестиций.

(1)

Число называется нормой акселерации или акселератором. Тут мы пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что инвестиционный лаг равен нулю.

В более совершенніх моделях принцип акселерации представляется формулой

, (*)

т.е. инвестиции пропорциональны приросту продукции за предшествующий период. Величина , которая характеризует сдвиг во времени (запаздывание) действия фактора на результат, в экономике называется лагом. В выражении (*) лаг .

Предполагая, что величина инвестиций составляет фиксированную часть прибыли, получим:

, (2)

Где коэффициент пропорциональности (называемый нормой инвестиций) –постоянная величина

. Если подставить выражение для из (2) в (1), то приходим к уравнению

, (3)

где . Получено ДР (см. пример 2,с.27 конспекта), общее решение которого , а с учетом начального условия :

(4)

Замечание 1. Одно и тоже ДР может моделировать разные явления или процессы. Так уравнение (3) описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и т.д.

Замечание 2. Логарифмическая производная называют также относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции. Решение уравнения естественного роста это функция с постоянным темпом изменения , поскольку

На практике модель естественного роста может быть применена только на начаьном этапе развития экономической системы, в течение ограниченного промежутка времени, поскольку (как это следует из (4) и рис.2)с течением времени может принимать сколь угодно большие значения, что не может не сказаться на изменении цены (в данной модели она предполагалась постоянной).