Невласні інтеграли
Перейдемо до узагальнення поняття визначеного інтеграла у напрямку, коли: проміжок інтегрування є нескінченним.
Невласний інтеграл по нескінченному проміжку
Нехай функція 
є інтегрованою на довільному проміжку 
. Покладемо за означенням
. (11.1)
Невласний інтеграл 
назвемо збіжним, якщо границя існує і скінченна (величина цієї границі приймається за значення невласного інтеграла). У протилежному разі цей невласний інтеграл називається розбіжним.
Цілком аналогічно визначаються невласні інтеграли:
, 
.
Приклад 1. Дослідити на збіжність інтеграли:
1) 
; 2) 
. Розв’язання: 1) 
.
Рис.11.1
| Оскільки  , то невласний інтеграл збігається і  . З геометричної точки зору площа нескінченної криволінійноїтрапеції  дорівнює  (рис. 11.1).
|
б) 
. Оскільки границя 
не існує (не існує числа до якого прямує 
при 
), то невласний інтеграл 
є розбіжним.
Приклад 2. Дослідити на збіжність інтеграл
. (11.2)
Розв’язання. Нехай 
. Тоді при 
та інтеграл (11.2) є
розбіжним. Якщо 
, то 
. Звідки при 
маємо
і, таким чином, інтеграл (11.2) збігається, причому
.
У тому разі, коли 
, то 
та інтеграл (11.2) є розбіжним. Отже, інтеграл (11.2) збігається при і розбігається при 
.
У розібраних вище прикладах відповідь на питання про збіжність або розбіжність інтеграла знаходили за допомогою первісної 
підінтегральної функції . При цьому у разі збіжності невласного інтеграла знаходили і його значення. Проте часто потрібно лише відповісти на питання, збігається чи розбігається невласний інтеграл, а для цього необов’язково знаходити . А саме, наприклад, невласний інтеграл (11.1) від додатної функції збігається тоді і тільки тоді, якщо при зростанні 
інтеграл 
є обмеженим зверху (див. теорему 4 підрозд. 3.6 посібника). У випадку, якщо інтеграл не є обмеженим, то інтеграл (11.1) розбігається (дорівнює 
). На цьому заснована наступна ознака порівняння.
Теорема. Нехай 
, тоді:
1) інтеграл є збіжним, якщо інтеграл 
збігається;
2) інтеграл є розбіжним, якщо інтеграл розбігається.
Наслідок. Якщо для додатних функцій 
та 
існує скінченна границя
,
то обидва інтеграли , збігаються або розбігаються одночасно. Зокрема, якщо
,
то інтеграл збігається при і розбігається при .
Приклад 3. Дослідити на збіжність інтеграли:
1) 
; 2) 
.
Розв’язання. Відзначимо, що елементарної первісної в обох випадках не існує.
1) Оскільки 
, а 
збігається, то на підставі теореми збігається і інтеграл 
;
|
. Отже, на підставі наслідку з теореми випливає, що інтеграл збігається при 
і розбігається при 
.
Збіжний інтеграл назвемо абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл 
. У випадку, коли інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, будемо казати, що інтеграл збігається умовно. Слід зазначити, що із збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла .
Приклад 4. Дослідити на збіжність інтеграли: а) 
;б) 
;в) 
;
г) 
;д) 
.
Розв’язання.а) = 
, тобто, збігається.
а.1) 
б) 
, збігається.
б.1) 
в) 
, збігається.
в.1) 
.
г) 
,збігається.При
обчисленні границі 
була використана формула 
(див. посібник,с.145), зміст якої в тому, що показникова функція 
зростає швидше степеневої функції 
.
г.1) 
=
.
д) 
,збігається.
д.1) 
.
