Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Таку назву мають рівняння вигляду:

. (5)

Припустимо, що . Тоді рівняння (3) після множення обох частин (3) на можна

записати у еквівалентній диференціальній формі, у якої змінні відокремлені:

.

Нехай - первісна функції , а - первісна функції . Тоді з останнього рівняння маємо, що і, отже,

.

Щоб знайти розв’язок явно, з останнього співвідношення, слід знайти як функцію .

. Приклад 4. Розв’язати задачу Коші .

Розв’язання. Це рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Припустимо, що

і відокремим змінні: .

Проінтегруємо отриману формулу:

Розв’язуємо задачу Коші: . .

При відокремлюванні змінних (при діленні на ) був втраченим розв’язкок . Він отримується з попереднього розв’язку при . Отже, будь який розв’язок розглянутого рівняння дає формула

,де С – довільна стала. У подальшому ми для простоти будемо вважати та не досліджувати випадок. .

Приклад 5. Розв’язати задачу Коші для ДР

а) б) в) г) .

Розв’язання. а) Відокремлюємо змінні та інтегруємо

(*)

Саме в цьому місці розв’язку застосовуємо початкову умову . В вираз (*) замість підставляємо 0. а замість підставляємо 1. Одержимо . Підставляємо в (*)

. Підносимо обидві частини останньої рівності у степень

.

б) Розв’язання. Буде застосована формулазаміни змінної 4. .

Відокремлюємо змінні та інтегруємо

.

Застосуємо початкову умову і знайдемо .

,

. в) Розв’язання. Відокремлюємо змінні та інтегруємо

Застосуємо початкову умову і знайдемо .

, .

u) Розв’язання. Відокремлюємо змінні та інтегруємо

,

.

Застосуємо початкову умову і знайдемо

, .

 

3. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку (ЛДР)

ДР. називається лінійним, якщо невідома функція та її похідна входять в нього лінійно (тобто в першому степені):

Якщо , то рівняння називається лінійним однорідним, а якщо , то лінійним неоднорідним.

Розв’язок лінійного рівняння відшукують у вигляді добутку двох невідомих функцій

Якщо підставити останні вирази в рівняння (1)

та підібрати невідому функцію так, щоб квадратна дужка обернулась на нуль, то розв’язок ЛДРзводиться дорозв’язку системи двох ДР з відокремлюваними змінними:

(2)

Приклад 6. Розв’язати задачу Коші для ЛДР

Розв’язання. Приймаємо

1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР

, ()

де перше рівняння таке ж як початкове, але однорідне та відносно функції .

2.Розв’язок однорідного вівняння:

. Інтегруємо . Обираємо частинний розв’язок при С=0: .

3. Підставляємо знайдену функцію в ліву частину 2-го рівняння системи () та знаходимо функцію :

, , . Інтегруємо

4.Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ , у вираз та одержуємо

загальний розв’язок ЛДР

5. Розв’язуємо задачу Коші: (застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::

, .

Приклад 7. Знайти розв’язок задачі Коші.

Розв’язання. Приймаємо

1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР

.

2. Розв’язуємо однорідне рівняння:

 

3. Підставляємо в ліву частину 2-го рівняння системи () та знаходимо функцію :

4. Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ , у вираз та одержуємо загальний розв’язок ЛДР

5. Розв’язуємо задачу Коші: (застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::

, .

Приклад 8. Знайти розв’язок задачі Коші.

Розв’язання. Приймаємо

1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР

.

2. Розв’язуємо однорідне рівняння:

3. Підставляємо в ліву частину 2-го рівняння системи () та знаходимо функцію :

4. Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ , у вираз та одержуємо загальний розв’язок ЛДР

5. Розв’язуємо задачу Коші: (застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::

, .

Приклад 9. Знайти розв’язок задачі Коші.

Розв’язання. Приймаємо

1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР

.

2. Розв’язуємо однорідне рівняння:

3. Підставляємо в ліву частину 2-го рівняння системи () та знаходимо функцію :

=

4. Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ , у вираз та одержуємо загальний розв’язок ЛДР

5. Розв’язуємо задачу Коші: (застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::

, .