Рівняння з однією змінною

Тема 1. Основні види рівнянь з однією змінною.

І. Повторення і систематизація знань (читати)

Рівності та їх властивості. Тотожності.

Рівність — це два вирази, які з'єднані знаком «=».

х=у — це рівність, х — ліва частина рівності, у — права частина рівності.

Властивості рівностей:

1) х = у => у = х;

2) х = у, у = z => х = z;

3) х = у => х + z=у + z;

4) х = у => х z = у z;

5) х = у = > .

Рівність може бути числовою або зі змінними. Числова рівність може бути вірною або невірною.

Множина значень змінних, при яких ліва й права частини рівності мають сенс (визначені), називається областю визначення рівності й позначається звичайно через D

Тотожність — це рівність, яка вірна при будь-яких значеннях змінних з області визначення рівності.

Рівняння з однією змінною.

Рівнянням з однієї змінної називається рівність виду f(х) = φ(х), де f(х) і φ(х) — деякі задані функції. Величина х називається невідомою.

Усяке значення змінної х, при якому рівняння f(х) = φ(х) обертається у вірну числову рівність називається коренем або розв'язком рівняння. Розв'язати рівняння — це значить знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Приклад 1. Рівняння х+2=5 має єдиний корень
х=3, тому що при цьому й тільки при цьому значенні змінної рівняння х+2=5 обертається у вірну числову рівність 3+2=5. Якщо визначити S — множина коренів рівняння х+2=5, то S={3}.

Приклад 2. Рівняння (х+1)(х-3)(х-6)=0 має три корені:


х₁ = -1, х₂ =3, х₃ = 6. S={-1; 3; 6} — множина коренів рівняння.

Відповідь: {-1; 3; 6}.

Приклад 3. Рівняння 2х+5=2 х-7 не має коренів, S=Ø.

Відповідь: Ø.

Приклад 4. Рівняння |х|= х має незліченна множина коренів (розв'язків), тому що будь-яке невід’ємне число х>0 є розв'язок цього рівняння. Звідси S = {х | х > 0}.

Відповідь: {х | х > 0}.

Приклад 5. Рівняння із двома змінними 2(х-у)=2 х-2у
має незліченну множину розв'язків. Це рівняння є тотожністю і будь-які дійсні значення х та у є його розв'язком, S={(х;у) |х є R, у є R}.

Приклад 6. Рівняння х²=-16 не має дійсного корінь.

Відповідь: Ø.

Для того щоб знайти область визначення рівняння f(х) = φ(х) необхідно знайти перетин множин, на яких визначені задані функції f(х) і φ(х).

Приклад 7. Знайти область визначення рівняння

Розв'язок. Маємо f(х) = , φ(х)=

D₁=(-∞;2) U (2; ∞); D₂=[0; ∞).

Звідси D = D₁∩D₂=[0;2) U (2; ∞).

Відповідь: х є [0;2) U (2; ∞).