Ірраціональними називають такі рівняння, у яких змінна знаходиться під знаком кореня. Наприклад, , .
!!! При розв’язуванні ірраціональних рівнянь обов’язковим є АБО знаходження ОДЗ рівняння, АБО перевірка знайдених коренів. Тому що при виконанні перетворень може порушуватись рівносильність рівнянь.
Основним методом розв’язування ірраціональних рівнянь є піднесення обох частин рівняння до одного степеня. На допомогу приходять формули скороченого множення ;
ПРИКЛАД 1. . Оскільки , а -4 0, то рівність неможлива.
Відповідь: коренів немає.
ПРИКЛАД 2. . ; х-1=8; х=9.
Відповідь: 9.
ПРИКЛАД 3. . ; 2х+3= ; -2х-3= 0; х1=-1, х2=3.
Перевірка. При х=-1 маємо =-1 – неправильна рівність, отже, х=-1 - сторонній розв’язок. При х=3 маємо = 3 – правильна рівність, отже, х=3 – корінь.
Відповідь: 3.
ПРИКЛАД 4. + = 4. Ізолюємо один корінь і піднесемо обидві частини рівняння до квадрата. = 4- ;. = ;
5х-1 = 16 - 8 + ; 5х-1 = 16 - 8 +х+3. Знову ізолюємо корінь і знову піднесемо обидві частини рівняння до квадрата. 8 = 16 +х+3-5х+1;
8 = 20 – 4х; 2 = 5-х; ; 4(х+3) = 25-10х+ ;
-14х+13=0; х1=1, х2=13.
Перевірка. х=1 – корінь; х= 13- сторонній розв’язок.
Відповідь: 1.
ПРИКЛАД 5. Розглянемо рівняння з кубічними коренями: .
()3=13;
()3+3( 2 + 3 )2+()3 = 1;
2х-1 + 3 () + х-1 = 1;
3 () = 1-2х+1-х+1;
3 *1 = 3 – 3х; = 1 – х;
( )3=(1 – х)3; (2х – 1)(х – 1) = (1 – х)3;
2х2 – 2х – х + 1 = 1 – 3х + 3х2 – х3; х3 – х2 = 0; х1=1, х2=0.
Перевірка. Заміна порушує рівносильність, оскільки ця рівність виконується не при всіх значеннях х.
х=1 – корінь; х= 0- сторонній розв’язок.
Відповідь: 1.
Ще один метод розв’язування ірраціональних рівнянь – заміна змінної.
Якщо до рівняння змінна входить в одному і тому самому вигляді, то зручно відповідний вираз позначити новою змінною.
ПРИКЛАД 6. Нехай = t, тоді маємо Звідки
t1=-4, t2=2. Зробимо обернену заміну: = -4 – коренів немає; =2; х=2.
Відповідь: 2.
ПРИКЛАД 7. =4. Запишемо рівняння у вигляді: 3()2 і зробимо заміну = t. Маємо: + t – 4 = 0; t1=1, t2 = .
Зробимо обернену заміну: = 1; х = 0; = – коренів немає.
Відповідь: 0.
ПРИКЛАД 8. Підкореневі вирази є взаємно оберненими, тому зробимо заміну , тоді , отримаємо рівняння t - = 1, розв’язавши яке отримуємо: t1=-1, t2=2. Виконавши обернену заміну, маємо х=2,5.
Відповідь: 2,5.
ПРИКЛАД 9. 2х2+6х -3 = 5. Запишемо 2(х2+3х) -3 = 5.
Заміна = t, тоді = t2, звідки = t2 , і рівняння приймає вигляд 2(t2 )-3t=5, звідки t1=1, t2=0,5.
Зробимо обернену заміну: = 1,; х1=1, х2= -4; х1=-1, х2=3.
= ; х1,2= .
Відповідь: 1;- 4; .
Завдання:
1) Розібрати приклади 1-4.
2) Розв’язати № 616(1,3), 618(1,3,7), №623 (1)
3) Розібрати приклади 6-8.
4) Розв’язати №641(1,2,5,9)
5) Розібрати приклад 5.
6) Розв’язати .
7) Розібрати приклад 9.
8) Розв’язати № 643(1,2)