Задачи по курсу «Электродинамика сплошных сред» и их решения

Рассмотрим область снаружи шара ():

И рассмотрим область внутри шара ():

Заметим, что и .

Окончательно получаем:

18 (А. 246). Заряд e совершает гармонические колебания вдоль оси X по закону . Написать выражение для объемной плотности заряда и объемной плотности тока . Найти средние по времени за период объемные плотности заряда и тока .

Решение:

По определению: и

Следовательно:

;

Найдем средние значения, как и

Используем свойство -функции: , где - нули функции .

Интервалу от 0 до из всего множества корней принадлежат только 2:

и

Возвращаясь к интегралу, получим:

Это выражение справедливо при , т.к. в случае интеграл даст 0.

Аналогично показывается, что:

Ответ: ;

; ;

при и при

19 (А. 258). Радиус-вектор точки расположения диполя с моментов меняется во времени по закону . Определить распределение объемных плотностей заряда и тока в пространстве. Вычислить магнитный момент найденного тока

Решение:

То есть

Ответ:

;

20 (А. 292). Простейшая линейная антенна представляет собой тонкий прямолинейный провод длины l, по которому течет ток . Определить интенсивность I длинноволнового излучения антенны в среднем за период колебания тока.

Решение:

Пусть проводник соединяет две сферы Заряд каждой сферы

. В этом случае ток . .

Таким образом, в целом, система представляет собой простейший диполь: В результате интенсивность излучения такой системы равна:

Интенсивность, усредненная за период колебаний тока , равна:

Ответ: .

21 (А. 298). Протон с массой m и зарядом e движется перпендикулярно однородному постоянному магнитному полю с напряженностью . Его кинетическая энергия в начальный момент времени равнялась . Найти закон убывания кинетической энергии , обусловленный дипольным излучением.

Решение:

Уравнение движения:

Т.к. поле направление перпендикулярно движению заряда, то

Тогда ;

Интенсивность излучения - это энергия электромагнитного поля, излучаемая в единицу времени, т.е.

Решая это дифференциальное уравнение, находим закон убывания кинетической энергии:

Ответ: .

22 (А. 300). В классической модели атома, предложенной Резерфордом, электрон с зарядом e и массой m вращается по круговой орбите вокруг неподвижного ядра с зарядом Z|e|. Найти закон убывания полной энергии электрона, обусловленный дипольным излучением. Вычислить время , по истечении которого электрон упадет на ядро вследствие потери энергии на дипольное излучение. В начальный момент времени электрон находился на расстоянии R от ядра.

Решение:

Выразим интенсивность дипольного излучения через полную энергию электрона.

Воспользуемся теоремой о вириале: если частица движется в потенциальном поле с энергией , то кинетическая энергия . Т.к. в данном случае потенциальная энергия электрона в поле ядра , то

Следовательно, уравнение движения:

Решая дифференциальное уравнение, находим:

Где

При падении частицы на центр

Таким образом:

Ответ: ;

.

23 (А. 302). Доказать, что у замкнутой системы заряженных частиц с одинаковым отношением заряда к массе дипольное излучение отсутствует.

Решение:

Интенсивность дипольного излучения:

Закон движения:

Дипольный момент системы точечных зарядов:

Таким образом:

Поскольку система замкнутая, то векторная сумма внешних сил равная 0.

Следовательно

24 (А. 313). Простейшая рамочная антенна представляет собой прямоугольную рамку со сторонами a и b, по которым течет линейный ток . Определить интенсивность I длинноволнового излучения антенны в среднем по времени за период колебаний тока.

Решение:

По определению магнитный момент линейного тока:

Так как , то , где площадь сечения

Отсюда интенсивность магнитно-дипольного излучения такой антенны равна:

А интенсивность, усредненная за период колебаний:

Ответ: .

25 (А. 315). При каком условии интенсивность магнитно-дипольного излучения не зависит от выбора начала координат?

Решение:

Если система транслирована относительно начала координат на вектор b,то заменяем и для магнитного момента имеем:

где – магнитный момент системы в начале координат.

Воспользуемся соотношением из §65:

Где индекс 0 у дипольного момента означает, что он рассчитан в начале координат.

Интенсивность магнитно-дипольного излучения:

Таким образом, для того, чтобы интенсивность не зависела от выбора начала координат необходимо, чтобы выполнялось равенство . Это реализуется в случае

Ответ: .

26 (А. 329). При каком условии интенсивность квадрупольного излучения не зависит от выбора начала координат?

Решение:

Квадрупольный момент системы, транслированной на вектор b (см. задачу 16):

где - дипольный момент системы в начале координат.

Интенсивность квадрупольного излучения:

Таким образом, для того, чтобы интенсивность квадрупольного излучения не зависела от выбора начала координат необходимо, чтобы выполнялось равенство . Это реализуется в случае .

Ответ: .

Список литературы.

Основная литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика:

а. Т.2. Теория поля. М, Наука, 1988, 1973. 530.1 (075.8) Л-222

б. Т.8. Электродинамика сплошных сред. М, Наука, 1992, 1982. 538.3 (075.8) Л-222

2. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М., Наука, 1990, 1979. 537.8 (075.8) В-493; 538.56 (075.8) В-493

3. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н.Классическая электродинамика. М., Наука, 1985. 530.1 (075.8) Б-877

4. Галицкий В.М., Ермаченко В.М. Макроскопическая электродинамика. М., Высшая школа, 1988. 537.8 (075.8) Г-158

5. Алексеев А.И. Сборник задач по электродинамике, М., Наука, 1977.

Дополнительная литература

1. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М, Наука, 1970 г. 538.3 (076.1) Б-288

2. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М., Наука, 1979

3. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. Дополнительные главы. М., Наука, 1987, 1981.