Теорема взаимности в теории излучения

 

 

Рассматриваем поля, которые зависят от времени по закону:

И рассмотрим уравнения Максвелла:

Если учитывать временную зависимость для Е и Н и если ввести , то получим:

Теорема взаимности рассматривает две группы источников и полей. Источником является ток

- поле , создаваемое источником «а» в области «b». Таким образом, источник порождает поля и , а порождает поля и .

Перепишем уравнения Максвелла для 1 и для 2 источников:

и

и

Для первого источника, умножим левое и правое уравнение скалярно на и соответственно, и к первому прибавим второе:

(*)

Для второго источника:

(**)

Из (*) вычтем (**):

Проинтегрировав обе части этого уравнения по объему и, используя теорему Остроградского-Гаусса, получим:

Здесь предполагается, что поле на бесконечности обращается в нуль, это обращение происходит за счет поглощения волны, тогда:

и значит:

- теорема взаимности для излучения

Этот интеграл берется по областям, где есть источники. Области источников ограничивают области интегрирования. Там, где нет источников, этот интеграл равен нулю.

То есть перемена местами источников и полей не меняет результата.

Предполагая, что поле достаточно медленно меняется в достаточно малой области локализации источников, можно поле вынести за знак интеграла, тогда:

Тогда:

- теорема взаимности для дипольного излучения.

Используем приближение линейного тока:

Если контуры замкнутые, то - падение напряжения на 1-м контуре за счет излучения 2-го источника. Обозначим и , тогда:

Мы получили теорему взаимности для контуров, реагирующих на излучение.

 

Задачи по курсу «Электродинамика сплошных сред»

 

1. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.

2. Вычислить где p – постоянный вектор.

3. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы: если объем, который охватывает замкнутая поверхность, равен V; A – постоянный вектор.

4. В равномерно заряженном шаре с объемной плотностью заряда имеется шарообразная полость, центр которой расположен на расстоянии от центра шара. Найти напряженность электрического поля внутри полости, внутри шара и снаружи шара. Радиусы шара и полости равны соответственно R и .

5. Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара. Объемная плотность заряда равна , радиус шара R.

6. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного заряда в интеграл Фурье.

7. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным в бесконечной среде по закону:

8. Определить потенциал точечного заряда , находящегося в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектрической проницаемости .

9. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндрической полости цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно распределенный по его сечению с плотностью . Оси цилиндра, образующего полость, и цилиндрического проводника параллельны и находятся друг от друга на расстоянии .

10. Показать, что постоянное однородное магнитное поле B можно описывать векторным потенциалом А= .

11. Найти интенсивность излучения частицы массы m, движущейся по круговой орбите радиуса , под действием кулоновских сил. Выразить ответ через энергию частицы.

12. Определить напряженность и потенциал электростатического поля равномерно заряженного шара радиуса R. Суммарный заряд шара Q.

13. Вычислить энергию электростатического поля равномерно заряженного шара радиуса R. Суммарный заряд шара Q.

14. Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода описывается функцией , где a – боровский радиус, а r – расстояние до протона, имеющего заряд e. Чему равна электростатическая энергия взаимодействия протона с электронным облаком.

15. Вычислить дипольный момент равномерно заряженного полушара радиуса R, суммарный заряд полушара Q. Отрицательный заряд – Q, помещен на расстояние l от центра по оси симметрии.

16. Определить дипольный и квадрупольный моменты системы, сдвинутой от начала координат на вектор c.

17. Внутри шара радиуса задан вектор плотности тока . Найти распределение векторного потенциала внутри и снаружи шара.

18. Заряд e совершает гармонические колебания вдоль оси X по закону . Написать выражение для объемной плотности заряда и объемной плотности тока. Найти средние по времени за период объемные плотности заряда и .

19. Радиус-вектор точки расположения диполя с моментом меняется во времени по закону . Определить распределение объемных плотностей заряда и тока в пространстве. Вычислить магнитный момент найденного тока

20. Простейшая линейная антенна представляет собой тонкий прямолинейный провод длины l, по которому течет ток . Определить интенсивность I длинноволнового излучения антенный в среднем за период колебания тока.

21. Протон с массой m и зарядом e движется перпендикулярно однородному постоянному магнитному полю с напряженностью . Его кинетическая энергия в начальный момент времени равнялась . Найти закон убывания кинетической энергии , обусловленный дипольным излучением.

22. В классической модели атома, предложенной Резерфордом, электрон с зарядом e и массой m вращается по круговой орбите вокруг неподвижного ядра с зарядом Z|e|. Найти закон убывания полной энергии электрона, обусловленный дипольным излучением. Вычислить время , по истечении которого, электрон упадет на ядро вследствие потери энергии на дипольное излучение. В начальный момент времени электрон находился на расстоянии R от ядра.

23. Доказать, что у замкнутой системы заряженных частиц с одинаковым отношением заряда к массе дипольное излучение отсутствует.

24. Простейшая рамочная антенна представляет собой прямоугольную рамку со сторонами a и b, по которым течет линейный ток . Определить интенсивность I длинноволнового излучения антенны в среднем времени за период колебаний тока.

25. При каком условии интенсивность магнитно-дипольного излучения не зависит от выбора начала координат?

26. При каком условии интенсивность квадрупольного излучения не зависит от выбора начала координат?