Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—игнал как конечный взвешенный набор известных функций




¬ предыдущем пункте было показано, как представл€ть сигнал одним выражением (одной функцией). ƒовольно часто имеетс€ упор€доченный набор функций , и сигнал представл€етс€ взвешенной суммой функций этого набора . Ќапример, если сигнал определЄн как взвешенна€ сумма п€ти слагаемых (сумма произвольных функций, умноженных на фиксированные числа) , то дл€ любого момента времени можно вычислить его значение по следующей последовательности команд:

1. «адание вектора коэффициентов (числовой массив) и вектора функций (массив €чеек):

c = [-5 4 -3 2 -1];

Sn = {'t' 't.^2Т 'sin(t)' 'cos(t)' 'exp(t)'};

2. «адание моментов времени вычислени€ значений сигнала:

t=0:0.1:0.4;

3. »спользование цикла по п€ти функци€м с последующим суммированием:

for i =1:5

s(i,:) = c(i)*eval(char(Sn(:,i)));

end

x=sum(s(1:5,:))

4. –езультат вычислений:

x= 1.0000 0.1253 -0.6973 -1.4657 -2.1780

 

¬ радиотехнике часто используетс€ представление детерминированных сигналов в виде р€дов по системам функций, например, полные ортонормальные системы дл€ замкнутого интервала e = [-1, 1]. “акой интервал удобен дл€ последующего перехода к любому другому интервалу путЄм подход€щего масштабировани€.

Ќаиболее известным и примен€емым €вл€етс€ р€д ‘урье , в котором использованы комплексные гармонические функции , ортонормальные с весом , причЄм коэффициенты р€да вычисл€ютс€ по известной формуле: .  оличество членов n р€да ‘урье при моделировании всегда ограничено, поэтому всегда имеетс€ некотора€, но контролируема€ погрешность представлени€ функции таким р€дом. ѕоскольку р€д ‘урье €вл€етс€ элементом гильбертового пространства, то ошибка аппроксимации представл€ет собой монотонно убывающую функцию от N Ц числа учитываемых членов р€да. ≈Є величина полностью зависит от поведени€ моделируемой функции, точнее, от скорости еЄ изменени€. ѕоэтому часто на моделируемую функцию накладываютс€ ограничени€, например она не должна иметь на интервале [-1, 1] конечные разрывы. Ќесоблюдение этого услови€ приводит к так называемому €влению √иббса, когда моделируема€ функци€ колеблетс€ около точки разрыва вокруг истинного значени€.

ѕример представлени€ разрывной функции показан на рисунке 1.1. «а счЄт ограниченности р€да ошибка имеет величину пор€дка 4 % при n =10, 0.4 % при n =100 и т.п. Ќа рисунке справа отчЄтливо видно, что абсолютное отклонение моделируемого процесса от истинного значени€ с увеличением n не уменьшаетс€, име€ значение около 18 % от величины разрыва.

–исунок 1.1 Ц ѕоведение суммы гармоник около точки разрыва (€вление √иббса)

 

  n = 50; % „исло членов ряда m = 500; % „исло врем.отсчЄтов t = linspace(-1,1,m); V = ones(2*n+1,m); for k = -n: n V(k+n+1,:)=k*V(k+n+1,:); end for I = 1: m V(:,i)=t(i)*V(:,i); end E = exp(j*pi*V)'; c = symmst(-n: n)'; x = real(E*c)/sqrt(2); % x(t) function c=symmst(n) %c(k)- коэффициенты ‘урье   ln = length(n); for i = 1: ln k = round(n(i)); c(i)= j*sqrt(2)*sin(pi*k/2)*... sinc(pi*k/2); end   function s = sinc(x) if abs(x) < = 1e-12 s = 1; else s = sin(x)/x; end

 

ƒругой часто используемой системой базисных функций дл€ представлени€ непрерывных сигналов €вл€ютс€ полиномы „ебышева 1-го рода. ѕри нормировочной функции полиномы образуют ортонормальную систему. ќни вычисл€етс€ либо пр€мо по формуле , , либо по рекуррентной формуле при тех же начальных услови€х. »з всех полиномов, имеющих коэффициент, равный 1 при , полином наименее отклон€етс€ от нул€ в интервала [-1,1]. ¬не интервала [-1,1] полином очень быстро возрастает (рисунок 1.2, а).

–исунок 1.2 Ц ‘ункции „Єбышева вне интервала (-1,1) Ц а; на интервале (0,1) Ц б    
   
t = 0:0.001:1.5; for n = 1: 10 y(n,:) = tcheb(n, t); end plot(t, y')   % ‘ункция пользователя function y = tcheb(n, t) % y = tcheb(n,t) % ¬ычисление полинома „ебышева   T0 = ones(1,length(t)); T1 = t; if n = = 0 y=T0; elseif n = = 1 y = T1; else for i =2: n T2 =2* t.*T1-T0; T0 = T1; T1 = T2; end y = T2; end
     

 

ќдин из самых простых базисов на интервале [0,1] Ц это мультипликативно-ортогональный базис, состо€щий из одинаковых величине и по длительности импульсов, сдвинутых относительно друга на их ширину (рисунок 1.3) . Ќазвание св€зано с тем, что простое умножение двух функций из этого базиса €вл€етс€ их скал€рным произведением: .

–исунок 1.3 Ц ћультипликативный базис при n = 8    
function f = mob(k, n, t) % f = mob(k, n, t)   t1 = rem(t,1); m = length(t1); f = zeros(1,m); if k = = 0 return end if k > n error(['k>n->[k n]=['num2str(... [k n]) ']']) else g1 = (k-1)/n; g2 = k/n; for i = 1:m if t1(i) >= g1 & t1(i) <= g2 f(i) = 1; end end end  
     

 

‘ункции ”олша также ортогональны на конечном интервале [-1/2, 1/2]: —имвол [ n /2] означает наибольшее целое, меньшее или равное n /2, число p может принимать значени€ 0 или 1. ‘ункци€ нулевого пор€дка

ƒругой вариант функций ”олша, ортогональный на [0, 1], представлен на рисунке 1.4. ¬ этом случае процедура вычислени€ достаточно проста:

- число k представл€етс€ в двоичном коде ;

- вычисл€ютс€ функции –адемахера ;

- определ€етс€ степень , где Ц операци€ Ђисключающее илиї, при этом ;

- функци€ .

    –исунок 1.4 Ц ‘ункции ”олша пор€дка 0.. 8     function w = wal(k,t) % w = wal(k,t)   t1 = rem(t,1); t1(1)=t1(1)+3*eps; t1(end)=t1(end)-3*eps; w = ones(1,length(t1)); if k == 0 w = w; return end b = [dec2binvec(k) 0]; n = length(b); for i = 1: n-1 r = xor(b(i),b(i+1)); if r ~= 0 w=w.*Rdm(i, t1); end end   function r = Rdm(i,t) r = sign(sin(2^I*pi*t));

Ќа полубесконечном интервале полиномы Ћаггера ; образуют также ортонормальную систему с весом : . Ёти функции имеют важное значение дл€ практики, поскольку импульсные реакции многих электрических цепей и систем представл€ютс€ взвешенными суммами .

–исунок 1.5 Ц ѕолиномы Ћаггера n =1.. 10 Ц а; весовые функции Ц б
function L = Lagger(n, t, w) L = Lagger(n, t, w) % ¬ычисление полинома Ћаггера   L0 = ones(1,length(t)); L1 = 1-t; if n = = 0 L = L0; elseif n = = 1 L = L1; else for i = 2:n L2=(2*i-1-t).*L1-(i-1)^2*L0; L0 = L1; L1 = L2; end L = L2; end % ¬ычисление весовых функций % по признаку СwТ   if nargin = = 3 & w = = 'w' x = exp(-t/2); if n = = 0 | n = = 1 L = L.*x; else for i = 2: n x = x/i; L = L.*x; end end end

 






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 557 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќеосмысленна€ жизнь не стоит того, чтобы жить. © —ократ
==> читать все изречени€...

518 - | 455 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.01 с.