Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


÷ентр кривоњ другого пор€дку




¬изначенн€. ÷ентром л≥н≥њ другого пор€дку називаЇтьс€ така точка, в≥дносно €коњ дл€ будь-€коњ точки л≥н≥њ знайдетьс€ симетрична точка ц≥Їњ л≥н≥њ.

 

 

 

Ќехай ћ**, у*) Ц центр л≥н≥њ другого пор€дку. якщо ћ11, у1) Ц будь-€ка точка л≥н≥њ другого пор€дку, то, виход€чи з визначенн€ центра, повинна ≥снувати точка на ц≥й л≥н≥њ ћ22, у2) така, що (6)

«апишемо тепер р≥вн€нн€ пр€моњ, €ка проходить через точку ћ*: (7)

≥ поставимо умову, точка ћ1, а значить, ≥ точка ћ2 лежали на пр€м≥й (мал.9).

“од≥ маЇмо:

(де t1,t2 Ц значенн€ параметра t, при €ких ≥з р≥вн€нн€ (7) можна отримати координати точок ћ1 та ћ2), зв≥дки:

(8)

ѕор≥вн€Їмо р≥вност≥ (8) та (6) ≥, враховуючи, що координати m та n направл€ючого вектора пр€моњ не р≥вн≥ нулю одночасно, ми приходимо до висновку, що t1+t2=0, а, значить, в р≥вн€нн≥

«а теоремою ¬≥Їтта Q=0, тобто

Ќе будемо розгл€дати той випадок, коли р≥вн€нн€ другого степеню буде парою сп≥впавши пр€мих, тод≥ на будь-€к≥й ≥з л≥н≥й знайдетьс€ в крайньому випадку дв≥ пари точок ћ1, ћ2, ≥ ћТ1, ћТ2, симетричних в≥дносно ћ*, через котр≥ пройдуть дв≥ пр€м≥ з р≥зними напр€мками

≥, що значить,

”мова Q=0 повинно мати м≥сце дл€ пр€мих з цими напр€мками, тобто одночасно мають м≥сце р≥вност≥:

“ак €к у ц≥й систем≥ однор≥дних р≥вн€нь з нев≥домими та визначник

то вона повинна мати один визначений розвТ€зок (причому ненульовий)

јбо в розгорнутому вигл€д≥:

(9)

Ѕезпосередньо ≥з визначенн€ центра випливаЇ, що у випадку, коли л≥н≥€ другого пор€дку складаЇтьс€ з пари сп≥впадаючих пр€мих, то будь-€ка њњ точка буде центром. ћожна сказати, що координати будь-€коњ точки ц≥Їњ л≥н≥њ задовольн€ють р≥вн€нн€м (9).

≤ навпаки, €кщо дл€ точки ћ**, у*) виконуютьс€ умови то маЇмо:

ј таке р≥вн€нн€ разом з точкою ћ1(X, Y) буде задовольн€ти ≥ точка ћ2(X, Y), симетрична точц≥ ћ1 в≥дносно ћ*, €ка €вл€Їтьс€ у даному випадку початком координат.

“аким чином, необх≥дна та достатн€ умова того, щоб точка ћ* була центром, пол€гаЇ в тому, щоб координати ц≥Їњ точки задовольн€ли р≥вн€нн€м (9).

ƒосл≥димо р≥вн€нн€ ц≥Їњ системи:

а) якщо , то система (9) маЇ Їдиний розвТ€зок, а з цього сл≥дуЇ, що л≥н≥€ другого пор€дку маЇ один визначений центр. ƒо таких л≥н≥й в≥днос€тьс€: ел≥пс, г≥пербола ≥ дв≥ пр€м≥, що перетинаютьс€; вони називаютьс€ центральними.

б) якщо , але хоча б один ≥з визначник≥в

не дор≥внюЇ нулю, то система (9) не маЇ розвТ€зк≥в.

ѕр€м≥, що в≥дпов≥дають р≥вн€нн€м (9), паралельн≥ ≥, значить, перетинаютьс€ у неск≥нченност≥. ≤нод≥ зручно говорити, що у цьому випадку центром Ї неск≥нченно в≥ддалена точка. ƒо таких л≥н≥й в≥дноситьс€ парабола.

в) якщо в р≥вн€нн€х (9) не вс≥ коеф≥ц≥Їнти одного ≥з р≥вн€нь нул≥ та:

тод≥ (11)

≥ одне з р≥вн€нь системи (9) буде насл≥дком другого,

в≥дпов≥дн≥ њм пр€м≥ сп≥впадають, точка перетину њх,

тобто центр, стаЇ невизначеною; вс€ка точка цих

сп≥впавши пр€мих (9) буде центром.

” цьому випадку ми маЇмо пр€му центр≥в.

якщо в одному з р≥вн€нь (9) вс≥ коеф≥ц≥Їнти нул≥,

€к, наприклад, дл€ л≥н≥њ, €ка задаЇтьс€ р≥вн€нн€м тод≥ з двох р≥вн€нь системи (9) залишаЇтьс€ одне, ≥, значить, в цьому випадку ми маЇмо пр€му центр≥в.

ќчевидно, що в розгл€нутому випадку

¬≥домо, що при умов≥ ≤2=0, ≤3=0 л≥н≥€ другого пор€дку буде складатис€ з двох паралельних чи сп≥впадаючих пр€мих.

 

2. ƒ≥аметр л≥н≥њ другого пор€дку.

¬изначенн€. ƒ≥аметром л≥н≥њ другого пор€дку називаЇтьс€ геометричне м≥сце середин паралельних хорд.

Ќехай напр€м паралельних хорд визначаЇтьс€ вектором (мал.10).

якщо ћ(’, Y) Ц середина одн≥Їњ з цих хорд, тод≥ дл€ р≥вн€нн€ €ке визначаЇ точки перетину хорди з л≥н≥Їю (1) , повинна виконуватис€ умова:

або в розгорнутому вигл€д≥:

(12)

÷€ умова повинна виконуватис€ дл€ ус≥х хорд даного напр€му. ѕри переход≥ в≥д одн≥Їњ хорди до ≥ншоњ X та Y будуть зм≥нюватис€ ≥, значить, в умов≥ (12) њх сл≥д при цьому вважати зм≥нними.

–≥вн€нн€ (12) буде, таким чином, р≥вн€нн€м д≥аметра. “ак €к р≥вн€нн€ (12) - р≥вн€нн€ першого степен€, то д≥аметром буде пр€ма л≥н≥€. «ам≥нивши (кутовий коеф≥ц≥Їнт хорд), ми можемо записати р≥вн€нн€ (12) у вигл€д≥:

(13)

або

” випадку центральних л≥н≥й р≥вн€нн€ (13) перетворюЇтьс€ в тотожн≥сть при п≥дстановц≥ координат центру ≥, значить, д≥аметри проход€ть через центр.

–озвТ€завши р≥вн€нн€ (13) в≥дносно Y, знайдемо кутовий коеф≥ц≥Їнт д≥аметра

(14)

ѕокажемо, що дл€ л≥н≥й парабол≥чного типу (парабола та паралельн≥ пр€м≥) kg не залежить в≥д kx.

≤ справд≥, дл€ л≥н≥й парабол≥чного типу:

 

¬изначивши зв≥дси та п≥дставивши у р≥вн≥сть (14), маЇмо:

“аким чином, дл€ л≥н≥й парабол≥чного типу вс≥ д≥аметри паралельн≥ м≥ж собою та мають кутовий коеф≥ц≥Їнт: (15)

асимптотичного напр€мку (мал.11).

ѕеретворивши р≥вн≥сть (14), маЇмо:

ћи бачимо, що в ц≥й р≥вност≥ kg та kx в≥д≥грають р≥вносильну роль, а це значить, що €кщо ми в≥зьмемо сукупн≥сть паралельних хорд з кутовим коеф≥ц≥Їнтом kg, то д≥аметр, €кий Ї геометричним м≥сцем њх середин, матиме кутовий коеф≥ц≥Їнт kg.

ƒва д≥аметри, кожен з €ких д≥лить хорди, паралельно другому, наполовину, називаютьс€ спр€женими.

–≥вн≥сть буде умовою спр€женост≥ двох напр€м≥в.

якщо спр€жен≥ напр€ми перпендикул€рн≥, то

ѕ≥дставл€ючи в р≥вн≥сть

маЇмо: (15)

“аким чином, дл€ будь-€коњ кривоњ другого пор€дку ≥снують два взаЇмно перпендикул€рних спр€жених напр€ми.

 

 

 

 

¬заЇмно перпендикул€рн≥ та спр€жен≥ д≥аметри ел≥пса та г≥перболи €вл€ютьс€ ос€ми симетр≥њ. ¬они називаютьс€ ос€ми цих кривих: а) великою та малою Ц дл€ ел≥пса, б) д≥йсною та у€вною Ц дл€ г≥перболи (мал.12).

ћал.13

“ак €к вс≥ д≥аметри параболи паралельн≥, то вона маЇ одну в≥сь симетр≥њ Ц д≥аметр, перпендикул€рний до спр€жених до нього хорд (мал.13).

IV.

¬ цьому випадку р≥вн€нн€ (3) набираЇ вигл€ду:

≥ один ≥з корен≥в t1=0, це означаЇ, що одна з точок перетину пр€моњ та л≥н≥њ другого пор€дку сп≥впадаЇ з даною точкою пр€моњ Цћ0.

÷е ж сл≥дуЇ безпосередньо з р≥вност≥:

V.

¬ цьому випадку р≥вн€нн€ набираЇ вигл€ду: Pt2=0.

як насл≥док, t1=t2=0 та обидв≥ точки перетину пр€моњ та л≥н≥њ другого пор€дку зливаютьс€ з точкою ћ0. ѕр€ма буде дотичною до л≥н≥њ другого пор€дку в точц≥ ћ0.

« умови

¬изначимо кутовий коеф≥ц≥Їнт дотичноњ:

«наючи точку дотику та кутовий коеф≥ц≥Їнт дотичноњ, можна записати р≥вн€нн€ дотичноњ:

(16)

VI.

јналог≥чно випадку ≤≤, тут можна довести, що точки перетину пр€моњ та л≥н≥њ другого пор€дку сп≥впадатимуть з неск≥нченно в≥ддаленою точкою ц≥Їњ л≥н≥њ, ≥, €к насл≥док, пр€ма буде дотичною до л≥н≥њ другого пор€дку в њњ неск≥нченно в≥ддален≥й точц≥.

ƒотична до л≥н≥њ другого пор€дку в њњ неск≥нченно в≥ддален≥й точц≥ називаЇтьс€ асимптотою.

”мова Q=0 визначаЇ р≥вн€нн€ д≥аметру

а умова –=0, або

вказуЇ, що наш д≥аметр спр€жений з асимптотичним напр€мком.

“аким чином, асимптота, €ка визначаЇтьс€ умовами –=0 та Q=0, Ї д≥аметром, спр€женим з асимптотичним напр€мком.

ѕокажемо, що асимптотичний напр€мок Ц це напр€мок, €кий сп≥впадаЇ з≥ спр€женим до нього. —пр€жен≥ напр€ми повТ€зан≥ формулою:

ѕоклавши , отримуЇмо:

а ц≥й р≥вност≥, €к в≥домо, задовольн€ють асимптотичн≥ напр€ми.

“аким чином, асимптота л≥н≥њ другого пор€дку - це пр€ма, €ка €вл€Ї собою два спр€жен≥ д≥аметри.

¬ище було зТ€совано, що л≥н≥њ г≥пербол≥чного типу (I2<0) мають два д≥йсних асимптотичних напр€ми ≥, значить, г≥пербола маЇ дв≥ д≥йсн≥ асимптоти (мал.14).

≈л≥пс (≤2>0) не маЇ асимптотичних напр€м≥в ≥, значить, ел≥пс не маЇ асимптот.

ѕарабола (≤2=0) маЇ один асимптотичний напр€мок

ћал.14
€кий сп≥впадаЇ з напр€мом д≥аметр≥в параболи (р≥вн≥сть сл≥дуЇ з умови ≤2=0), ≥, значить, парабола маЇ одну асимптоту, котра буде неск≥нченно в≥ддаленою пр€мою, що дотикаЇтьс€ параболи в њњ неск≥нченно в≥ддален≥й точц≥. (—уворе доведенн€ цього може бути проведене в однор≥дних координатах ≥ тому не приводитьс€).

VII.

÷ей випадок даЇ т≥ ж результати, що ≥ випадок ≤≤, але з тим доповненн€м, що дана точка ћ0 пр€моњ лежить на л≥н≥њ другого пор€дку, що задаЇтьс€ умовою

VIII.
¬ цьому випадку р≥вн€нн€ (3) задовольн€Їтьс€ будь-€ким значенн€м параметра t, а, значить, вс€ точки пр€моњ (2) належать л≥н≥њ другого пор€дку (1), що можливо у тому випадку, коли л≥н≥€ другого пор€дку розпадаЇтьс€ на пару паралельних пр€мих або пару пр€мих, що перетинаютьс€ ≥ пр€ма (2) сп≥впадаЇ ≥з одн≥Їю з них.

ѕриклад 1.

«найти центр л≥н≥њ

–озвТ€зок.

ѕрир≥внюючи частков≥ пох≥дн≥ по x та по y л≥воњ частини р≥вн€нн€ до нул€, отримаЇмо:

–озвТ€завши ц≥ р≥вн€нн€, отримуЇмо

« цього сл≥дуЇ, що л≥н≥€ маЇ Їдиний центр в точц≥

ѕриклад 2.

«найти центр л≥н≥њ:

–озвТ€зок.

–≥вн€нн€ми, що визначають центр, будуть:

÷€ система несум≥сна. ѕр€м≥, що в≥дпов≥дають цим р≥вн€нн€м, паралельн≥. ÷е означаЇ,що л≥н≥€ не маЇ центру (центр Ц неск≥нченно в≥ддалена точка).

ѕриклад 3.

«найти центр л≥н≥њ

–озвТ€зок.

–≥вн€нн€, що визначають центр, задаютьс€ €к:

¬ цьому випадку л≥н≥€ маЇ неск≥нченну множину центр≥в, а точн≥ше, вс≥ точки пр€моњ

.

ѕриклад 4.

«найти середину хорди, €ка в≥дс≥каЇтьс€ кривою

на пр€м≥й

–озвТ€зок.

„ерез середину даноњ хорди повинен проходити спр€жений њй д≥аметр. —кладемо його р≥вн€нн€.

≤з р≥вн€нн€ хорди маЇмо:

–≥вн€нн€ д≥аметра маЇ вид:

тобто

або

–озвТ€зуючи це р≥вн€нн€ сум≥сно з р≥вн€нн€м хорди, визначаЇмо њњ середину:

–озвТ€зок ц≥Їњ системи буде таким:

х= - 3, у= 5.

÷е значить, що серединою хорди буде точка (-3, 5).

ѕриклад 5.

«найти в≥с≥ кривоњ:

–озвТ€зок.

¬≥с≥ кривоњ Ц д≥аметри, спр€жен≥ та взаЇмно перпендикул€рн≥.  утов≥ коеф≥ц≥Їнти њх визначаютьс€ з р≥вн€нн€ (16).

тобто

зв≥дки k1=1, k2= -1.

–≥вн€нн€ осей знаход€тьс€ €к р≥вн€нн€ д≥аметр≥в, спр€жених даним напр€мам, тобто

або

або

ѕриклад 6.

«найти асимптоти г≥перболи:

–озвТ€зок.

–≥вн€нн€ асимптот маЇ вигл€д:

де k визначаЇтьс€ з р≥вн€нн€

тобто

–озвТ€завши його, матимемо:

—кладемо р≥вн€нн€ асимптот:

або

або

ѕриклад 7.

—класти р≥вн€нн€ дотичноњ до ел≥пса в точц≥ (х0, у0).

–озвТ€занн€.

–≥вн€нн€ дотичноњ до л≥н≥њ, €ка задана загальним р≥вн€нн€м, маЇ вигл€д:

¬ нашому випадку

«начить р≥вн€нн€ дотичноњ матиме вигл€д:

ѕеретворивши, маЇмо:

“ак €к точка (х0, у0) лежить на ел≥пс≥, то права частина р≥вност≥ буде дор≥внювати 1, а р≥вн€нн€ дотичноњ матиме вигл€д:

¬прави.

  1. Ќаписати р≥вн€нн€ дотичних до кривоњ в њњ точках з абсцисою -2.

¬≥дпов≥дь. 7х+4у+10=0,

3х-4у+18=0.

  1. „ерез точку (1; -2) проведений д≥аметр кривоњ «найти р≥вн€нн€ цього д≥аметру та д≥аметру йому спр€женого.

¬≥дпов≥дь. х+2у+3=0,

7х-5у+2=0.

  1. «найти головн≥ ос≥ кривоњ:

¬≥дпов≥дь. х+у=0,

х-у=0.

4. «найти в≥сь симетр≥њ та вершину параболи:

¬≥дпов≥дь. х+2у-1=0.

5. якого виду набере р≥вн€нн€ кривоњ €кщо початок координат перем≥стити в њњ центр?

¬≥дпов≥дь.

6. «найти асимптоти г≥перболи

¬≥дпов≥дь. 2х-3у+1=0,

х-1=0.

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-09-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2961 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕутерброд по-студенчески - кусок черного хлеба, а на него кусок белого. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2153 - | 2075 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.232 с.