Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕеретин л≥н≥њ другого пор€дку з пр€мою




ѕозначимо л≥ву частину загального р≥вн€нн€ л≥н≥њ другого пор€дку через 2F (x,y):

(1)
–озгл€немо пр€му, що задана точкою M0(x0,y0) та направл€ючим вектором (мал.5). Ќехай M(x,y) Ц точка, що належить дан≥й пр€м≥й, тод≥: јбо в координатах:

(2)

 

 


–≥вн€нн€ пр€моњ такого виду називаютьс€ параметричним р≥вн€нн€м пр€моњ.  утовий коеф≥ц≥Їнт пр€моњ (2) буде р≥вним:

ƒл€ визначенн€ координат точок перетину л≥н≥њ другого пор€дку з пр€мою розвТ€жемо систему р≥вн€нь (1) та (2). ѕ≥дставл€ючи з р≥вн€нн€ (2) значенн€ x та y в р≥вн€нн€ (1), приходимо до р≥вн€нн€ виду: (3)
де ()
()
()

¬ирази в дужках: - це половини часткових пох≥дних в≥д л≥воњ частини р≥вн€нн€ (1), що розрахован≥ при x=x0 та y=y0. („астковою пох≥дною в≥д функц≥њ з двома зм≥нними називаЇтьс€ пох≥дна, обчислена по одн≥й з≥ зм≥нних, €кщо враховувати при цьому другу зм≥нну пост≥йною величиною).

ƒосл≥дженн€ питанн€ про перетин пр€моњ л≥н≥њ з л≥н≥Їю другого пор€дку зводитьс€ тепер до досл≥дженн€ р≥вн€нн€ (3). ѕ≥дл€гають розгл€ду в≥с≥м можливих випадк≥в.

I.

–озвТ€зуючи квадратичне р≥вн€нн€ (3), маЇмо:

а) якщо д≥йсн≥, то пр€ма (2) перетинаЇ л≥н≥ю (1) в двох д≥йсних р≥зних точках, координати €ких обчислюютьс€ з р≥вн€нн€ (2) п≥дстановкою значень t1, t2 (мал.6а).

 

б) якщо t1=t2, то пр€ма (2) маЇ з л≥н≥Їю (1) одну сп≥льну точку (дв≥, що злилис€) та буде, значить, дотичною до ц≥Їњ л≥н≥њ (мал. 6б).

в) якщо t1 та t2 комплексн≥, то пр€ма (1) та л≥н≥€ (2) не мають сп≥льних точок (мал.6в).

II.

¬ цьому випадку р≥вн€нн€ (3) маЇ вид: 2Qt+R=0 ≥ буде мати лише один розвТ€зок

€кий означаЇ те, що пр€ма (2) перетинатиме л≥н≥ю (1) в одн≥й точц≥.

ƒл€ того, щоб зТ€сувати положенн€ другоњ точки, ми перетворимо р≥вн€нн€ (3), ввод€чи зам≥ну до виду ()
≥ будемо зм≥нювати напр€м пр€моњ таким чином, щоб з≥ зм≥ною “очки перетину пр€моњ (2) та л≥н≥њ (1) будуть зм≥нювати своЇ положенн€.

¬ граничному вигл€д≥, коли –=0, р≥вн€нн€ () набере вигл€ду:

 орен€ми цього р≥вн€нн€ будуть:

в≥дпов≥дно значенн€ t будуть:

“аким чином, друга точка перетину, перем≥щуючись по крив≥й, в розгл€даному вище процес≥ попр€мувала в неск≥нченн≥сть.

ѕр€му л≥н≥ю, €ка перетинаЇ л≥н≥ю другого пор€дку в неск≥нченност≥, називають пр€мою асимптотичного напр€мку (мал.7).

 

 

«наченн€ кутового коеф≥ц≥Їнту пр€моњ асимптотичного напр€мку, €кий проходить через точку ћ0, знаходитьс€ за умовою, що –=0, тобто

ѕод≥ливши на m2 та зам≥нивши , отримаЇмо:

(5)

ƒискрим≥нант цього квадратного р≥вн€нн€ буде р≥вним:

а) якщо ≤2<0, то р≥вн€нн€ (5) матиме 2 д≥йсних корен≥ k1 та k2 а це означаЇ, що через точку ћ0 будуть проходити дв≥ пр€м≥ асимптотичного напр€му, а сама л≥н≥€ матиме дв≥ неск≥нченно в≥ддален≥ точки.

¬ище ми побачили, що при ≤2<0 л≥н≥€ (1) буде г≥перболою чи парою пр€мих, що перетинаютьс€. (Ћ≥н≥њ г≥пербол≥чного типу).

б) якщо ≤2=0, то р≥вн€нн€ (5) матиме кратн≥ корен≥ k1=k2, це означаЇ, що через точку ћ0 проходить одна пр€ма асимптотичного напр€мку, а л≥н≥€ (1) маЇ одну неск≥нченно в≥ддалену точку.

ѕри ≤2=0 л≥н≥€ (1) буде параболою чи парою паралельних (р≥зних, сп≥впадаючих чи у€вних пр€мих. (Ћ≥н≥њ парабол≥чного типу).

в) якщо ≤2>0, то корен≥ k1 та k2 р≥вн€нн€ (5) будуть комплексними, а,значить, пр€мих асимптотичного напр€мку немаЇ, у л≥н≥њ не маЇ неск≥нченно в≥ддалених точок.

ѕри ≤2>0 л≥н≥€ (1) буде ел≥псом (д≥йсним чи у€вним), або точкою. (Ћ≥н≥њ ел≥птичного типу).

III.

” цьому випадку р≥вн€нн€ (3) маЇ вигл€д:

¬ цьому випадку з р≥вн€нь (2) маЇмо:

«в≥дки:

“ак €к t1+t2=0.

“аким чином точка ћ0 €вл€тиметьс€ серединою хорди ћ1ћ21 та ћ2 Ц точки перетину пр€моњ (2) з л≥н≥Їю (1)), (мал.8).

«адача

¬изначити кутовий коеф≥ц≥Їнт хорди л≥н≥њ другого пор€дку, €ка проходить через точку ћ0 ≥ д≥литьс€ в н≥й наполовину.

–озвТ€занн€.  оординати к≥нц≥в хорди ћ1 та ћ2 обчислюютьс€ з р≥вн€нь (2) при де€ких значенн€х t1 та t2, тобто:

—клавши та под≥ливши на 2, отримуЇмо:

ƒл€ того, щоб точка ћ0 була серединою хорди, необх≥дно, щоб

тобто, щоб t1+t2=0, так €к m та n одночасно не можуть дор≥внювати нулю.

«а теоремою ¬≥Їта, t1+t2= - 2Q.

«начить, Q=0 або

«в≥дки маЇмо

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-09-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1013 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ѕобеда - это еще не все, все - это посто€нное желание побеждать. © ¬инс Ћомбарди
==> читать все изречени€...

1867 - | 1775 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.014 с.