Позначимо ліву частину загального рівняння лінії другого порядку через 2F (x,y):
(1)
Розглянемо пряму, що задана точкою M0(x0,y0) та направляючим вектором 
(мал.5). Нехай M(x,y) – точка, що належить даній прямій, тоді: 
Або в координатах:
(2)
Рівняння прямої такого виду називаються параметричним рівнянням прямої. Кутовий коефіцієнт прямої (2) буде рівним:
Для визначення координат точок перетину лінії другого порядку з прямою розв’яжемо систему рівнянь (1) та (2). Підставляючи з рівняння (2) значення x та y в рівняння (1), приходимо до рівняння виду: 
(3)
де (
) 
(
) 
(
) 
Вирази в дужках: 
- це половини часткових похідних від лівої частини рівняння (1), що розраховані при x=x0 та y=y0. (Частковою похідною від функції з двома змінними називається похідна, обчислена по одній зі змінних, якщо враховувати при цьому другу змінну постійною величиною).
Дослідження питання про перетин прямої лінії з лінією другого порядку зводиться тепер до дослідження рівняння (3). Підлягають розгляду вісім можливих випадків.
I. 
Розв’язуючи квадратичне рівняння (3), маємо: 
а) Якщо 
дійсні, то пряма (2) перетинає лінію (1) в двох дійсних різних точках, координати яких обчислюються з рівняння (2) підстановкою значень t1, t2 (мал.6а).
б) Якщо t1=t2, то пряма (2) має з лінією (1) одну спільну точку (дві, що злилися) та буде, значить, дотичною до цієї лінії (мал. 6б).
в) Якщо t1 та t2 комплексні, то пряма (1) та лінія (2) не мають спільних точок (мал.6в).
II. 
В цьому випадку рівняння (3) має вид: 2Qt+R=0 і буде мати лише один розв’язок
який означає те, що пряма (2) перетинатиме лінію (1) в одній точці.
Для того, щоб з’ясувати положення другої точки, ми перетворимо рівняння (3), вводячи заміну 
до виду 
(
)
і будемо змінювати напрям прямої таким чином, щоб зі зміною 
Точки перетину прямої (2) та лінії (1) будуть змінювати своє положення.
В граничному вигляді, коли Р=0, рівняння () набере вигляду:
Коренями цього рівняння будуть:
відповідно значення t будуть:
Таким чином, друга точка перетину, переміщуючись по кривій, в розгляданому вище процесі попрямувала в нескінченність.
Пряму лінію, яка перетинає лінію другого порядку в нескінченності, називають прямою асимптотичного напрямку (мал.7).
Значення кутового коефіцієнту прямої асимптотичного напрямку, який проходить через точку М0, знаходиться за умовою, що Р=0, тобто 
Поділивши на m2 та замінивши 
, отримаємо:
(5)
Дискримінант цього квадратного рівняння буде рівним:
а) Якщо І2<0, то рівняння (5) матиме 2 дійсних корені k1 та k2 а це означає, що через точку М0 будуть проходити дві прямі асимптотичного напряму, а сама лінія матиме дві нескінченно віддалені точки.
Вище ми побачили, що при І2<0 лінія (1) буде гіперболою чи парою прямих, що перетинаються. (Лінії гіперболічного типу).
б) Якщо І2=0, то рівняння (5) матиме кратні корені k1=k2, це означає, що через точку М0 проходить одна пряма асимптотичного напрямку, а лінія (1) має одну нескінченно віддалену точку.
При І2=0 лінія (1) буде параболою чи парою паралельних (різних, співпадаючих чи уявних прямих. (Лінії параболічного типу).
в) Якщо І2>0, то корені k1 та k2 рівняння (5) будуть комплексними, а,значить, прямих асимптотичного напрямку немає, у лінії не має нескінченно віддалених точок.
При І2>0 лінія (1) буде еліпсом (дійсним чи уявним), або точкою. (Лінії еліптичного типу).
III. 
У цьому випадку рівняння (3) має вигляд:
В цьому випадку з рівнянь (2) маємо:
Звідки:
Так як t1+t2=0.
Таким чином точка М0 являтиметься серединою хорди М1М2 (М1 та М2 – точки перетину прямої (2) з лінією (1)), (мал.8).
Задача
Визначити кутовий коефіцієнт хорди лінії другого порядку, яка проходить через точку М0 і ділиться в ній наполовину.
Розв’язання. Координати кінців хорди М1 та М2 обчислюються з рівнянь (2) при деяких значеннях t1 та t2, тобто:
Склавши та поділивши на 2, отримуємо:
Для того, щоб точка М0 була серединою хорди, необхідно, щоб
тобто, щоб t1+t2=0, так як m та n одночасно не можуть дорівнювати нулю.
За теоремою Вієта, t1+t2= - 2Q.
Значить, Q=0 або 
Звідки маємо 
