Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


¬изначенн€ класу кривоњ та параметр≥в канон≥чного р≥вн€нн€ за допомогою ≥нвар≥ант≥в




«а допомогою ≥нвар≥ант≥в легко розвТ€зуЇтьс€ задача визначенн€ типу та класу л≥н≥њ, що задана загальним р≥вн€нн€м, та визначенн€ коеф≥ц≥Їнт≥в зведених р≥вн€нь цих л≥н≥й.

1. ќзнаки тип≥в кривих другого пор€дку, виражен≥ через ≥нвар≥анти. ¬ище ми бачили, що р≥вн€нн€ л≥н≥й першого типу, дл€ €ких , можуть бути зведеними до найпрост≥шого виду

ќбчислимо ≥нвар≥анту ≤2, виход€чи з цього зведеного р≥вн€нн€:

ќчевидно, ≥ навпаки, €кщо , тобто крива буде першого типу.

якщо крива другого типу, тобто то њњ зведене р≥вн€нн€ маЇ вигл€д:

ќбчислимо ≤2 та ≤3, виход€чи з цього зведеного р≥вн€нн€:

≤ навпаки, €кщо ≤2=0, то один ≥з корен≥в характеристичного р≥вн€нн€, наприклад s1, р≥вний нулю; але так €к а значить л≥н≥€, дл€ €коњ буде л≥н≥Їю другого пор€дку.

Ќа к≥нець, €кщо крива третього типу, тобто:

то њњ зведене р≥вн€нн€ маЇ вигл€д:

ќбчислимо ≤2 та ≤3, виход€чи з цього р≥вн€нн€:

Ћегко довести ≥ зворотне, що €кщо , крива буде третього типу.

“аким чином, ми отримали необх≥дн≥ та достатн≥ умови ознак тип≥в кривих:

а) ќзнака кривоњ ≤ типу .

б) ќзнака кривоњ ≤≤ типу .

в) ќзнака привоњ ≤≤≤ типу .

2. ќбчисленн€ коеф≥ц≥Їнт≥в зведених р≥вн€нь через ≥нвар≥анти.

а) ¬ зведеному р≥вн€нн≥ ≤ типу:

s1 та s2 Ц корен≥ характеристичного р≥вн€нн€

ќбчислимо ≥нвар≥анти ≤2 та ≤3 дл€ р≥вн€нн€ кривих ≤ типу, користуючись зведеним р≥вн€нн€м:

“аким чином,

зв≥дки

≥ зведене р≥вн€нн€ набираЇ вигл€ду:

б) п≥драхувавши дл€ зведеного р≥вн€нн€ кривоњ другого типу

≥нвар≥анти ≤1, ≤2, ≤3, маЇмо:

“аким чином,

зв≥дки

≥ зведене р≥вн€нн€ набираЇ вигл€ду:

в) дл€ зведеного р≥вн€нн€ кривоњ третього типу

≥нвар≥анти та семи ≥нвар≥анта приймають значенн€:

таким чином,

зв≥дки ≥ зведене р≥вн€нн€ набираЇ вигл€ду

3. ¬изначенн€ класу кривоњ за допомогою ≥нвар≥ант.

≤. –озгл€немо крив≥ ≤ типу:

≤а. ƒл€ того, щоб це р≥вн€нн€ €вл€ло собою д≥йсний ел≥пс ≥ могло бути зведене до канон≥чного виду

необх≥дно, щоб s1 та s2 були одного знаку ≥ мало знак, протилежний знаку s1 та s2.

“ак €к

протилежних знак≥в, значить,

”мови

Ѕудуть також достатн≥ми дл€ того, щоб р≥вн€нн€ ≤ €вл€ло собою д≥йсний ел≥пс.

Ќасправд≥, з умови сл≥дуЇ, що s1 та s2 одного знаку.

а) Ќехай s1 та s2 Ц додатн≥ числа, тод≥ ≤1= s1+s2>0 та з умови сл≥дуЇ, що а значить,

б) Ќехай тепер s1 та s2 Ц в≥дТЇмн≥ числа, тод≥ ≤1= s1+s2<0 та з умови сл≥дуЇ, що а значить,

“аким чином, з умови та сл≥дуЇ, що s1 та s2 одного знаку, а маЇ знак, њм протилежний. ¬ цьому випадку р≥вн€нн€ ≤ €вл€Ї собою д≥йсний ел≥пс.

≤б. ƒл€ того, щоб р≥вн€нн€ ≤ €вл€ло собою у€вний ел≥пс та могло бути зведене до канон≥чного виду:

Ќеобх≥дно, щоб s1 та s2 були одного знаку та того же знаку, а значить, ≤1= s1 та s2 та одного знаку, а так €к , то

”мови

€вл€ютьс€ також достатн≥ми дл€ того, щоб р≥вн€нн€ ≤ було у€вним ел≥псом, що показуЇтьс€ аналог≥чно ≤а.

≤в. ƒл€ того, щоб р≥вн€нн€ ≤ представл€ло г≥перболу та могло бути зведеним до канон≥чного виду:

Ќеобх≥дно, щоб s1 та s2 були р≥зних знак≥в, ≥ значить,

”мови

будуть також достатн≥ми дл€ того, щоб р≥вн€нн€ ≥ €вл€ло собою г≥перболу.

≤г. ƒл€ того, щоб р≥вн€нн€ ≤ представл€ло собою точку та могло бути зведеним до канон≥чного виду

необх≥дно, щоб s1 та s2 були одного знаку, а значить, ≤2>0, а =0, тобто ≤3=0.

”мови ≤2>0, ≤3=0 будуть також достатн≥ми, щоб р≥вн€нн€ ≤ €вл€ло собою точку.

1д. ƒл€ того, щоб р≥вн€нн€ ≤ представл€ло пару пр€мих, що перетинаютьс€, та могло бути зведеним до канон≥чного виду

Ќеобх≥дно, щоб s1 та s2 були р≥зних знак≥в, ≥ значить,

2<0, а =0, тобто ≤3=0.

”мови ≤2<0, ≤3=0

Ѕудуть також достатн≥ми, щоб р≥вн€нн€ ≤ €вл€ло собою пару пр€мих, €к≥ перетинаютьс€.

≤≤. ¬ище було встановлено, що дл€ того, щоб л≥н≥€ була кривою другого типу, необх≥дн≥ та достатн≥ умови виливають в тому, що

«ведене р≥вн€нн€ даноњ л≥н≥њ маЇ вигл€д:

а канон≥чне Ц

≤≤≤. ¬становлено, що необх≥дними та достатн≥ми умовами кривоњ ≤≤≤ типу Ї ≤2=0 та ≤3=0, а зведене р≥вн€нн€ маЇ вигл€д:

ѕод≥ливши на ≤1, приведемо р≥вн€нн€ ≤≤≤ до виду:

якщо до умов ≤2=0 та ≤3=0 добавити:

≤≤≤а. ”мова  <0, то р≥вн€нн€ можна звести до канон≥чного виду:

“а буде р≥вн€нн€м пари д≥йсних паралельних пр€мих.

≤≤≤б. ”мова  =0, то р≥вн€нн€ можна звести до канон≥чного виду:

та буде р≥вн€нн€м пари пр€мих, що сп≥впадають.

≤≤≤в. ”мова  >0, то р≥вн€нн€ можна звести до канон≥чного виду:

≤ буде р≥вн€нн€м пари у€вних Ђпаралельнихї пр€мих.

ѕриклад 1. ¬изначити клас л≥н≥њ:

та записати њњ канон≥чне р≥вн€нн€.

–озвТ€занн€. ќбчислимо ≥нвар≥анти:

1)

2) ¬изначимо клас л≥н≥њ:

«начить, дана л≥н≥€ Ц це д≥йсний ел≥пс.

3) —кладемо та розвТ€жемо характеристичне р≥вн€нн€:

4) «апишемо зведене р≥вн€нн€ л≥н≥њ:

≥ приведемо його до канон≥чного виду:

ѕриклад 2. ¬изначити клас кривоњ:

та записати њњ канон≥чне р≥вн€нн€.

–озвТ€занн€.

1) ≤1=2, ≤2=0, ≤3=-64,

2) (крива Ц парабола).

3) «апишемо њњ зведене та канон≥чне р≥вн€нн€:

¬прави. 1. ¬изначити вид кривих та записати њх канон≥чн≥ р≥вн€нн€:

2. ¬изначити вид л≥н≥й:

3. ¬изначити клас л≥н≥њ, дл€ €коњ:

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-09-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1005 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬аше врем€ ограничено, не тратьте его, жив€ чужой жизнью © —тив ƒжобс
==> читать все изречени€...

2012 - | 1981 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.031 с.