Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—прощенн€ загального р≥вн€нн€ кривоњ другого пор€дку шл€хом повороту осей координат




“еорема. ƒл€ будь-€коњ кривоњ другого пор€дку ≥снуЇ така пр€мокутна система координат, в≥дносно €коњ р≥вн€нн€ ц≥Їњ л≥н≥њ не м≥стить в соб≥ члена ху.

Ќехай в де€к≥й пр€мокутн≥й систем≥ координат л≥н≥€ другого пор€дку задана р≥вн€нн€м:

ѕовернемо ос≥ координат на де€кий кут ; тод≥ координати ус≥х точок площини перетвор€тьс€ за формулами:

 ористуючись цими формулами, отримаЇмо р≥вн€нн€ кривоњ (1) в нов≥й систем≥ координат.

ƒл€ цього зам≥нимо в р≥вн€нн≥ (1) х та у њх значенн€ми по формулам (2):

ѕ≥сл€ перетворенн€ р≥вн€нн€ л≥н≥њ набере вигл€ду:

¬иберемо тепер кут так, щоб

тобто:

–озвТ€зуючи це р≥вн€нн€, маЇмо:

÷им теорема доведена, так €к може приймати будь-€ких значень. ¬ р≥вн€нн≥ (10) Ќасправд≥, €кщо б то р≥вност≥ (10) сл≥дувало, що ≥, значить, в поворот≥ осей координат необх≥дност≥ не маЇ.

ѕод≥ливши вс≥ члени р≥вн€нн€ (10) на маЇмо:

“ак €к дискрим≥нант цього р≥вн€нн€

воно матиме два д≥йсних розвТ€зки:

«а теоремою ¬≥Їтта , значить в≥дм≥нн≥ в≥д . ƒл€ того, щоб скласти формули повороту осей координат (2), потр≥бно вз€ти будь-€ке ≥з значень ≥ п≥драхувати за формулами:

ѕ≥сл€ перетворенн€ р≥вн€нн€ (1) набере вигл€ду:

ѕриклад 1.

—простити р≥вн€нн€ та побудувати л≥н≥ю, збер≥гаючи на малюнку початкову систему координат.

–озвТ€занн€.

¬ даному приклад≥

¬изначимо тангенс кута повороту з р≥вн€нн€ (12):

Ѕеремо .

ќбчислимо за формулами (13)

—кладемо формули повороту осей координат:

ѕеретворивши за даними формулами р≥вн€нн€ даноњ л≥н≥њ, отримаЇмо:

або

ƒана л≥н≥€ Ц ел≥пс з п≥вос€ми

ѕобудуЇмо цей ел≥пс, збер≥гаючи початкову систему координат

(мал.1).

¬права. —простити р≥вн€нн€ та побудувати

¬≥дпов≥дну йому криву, збер≥гаючи початкову систему координат.

—кладанн€ р≥вн€нн€(14) кривоњ (1) в≥дносно новоњ системи координат можна виконати прост≥ше. «вернемо увагу, по-перше,

що:

в чому легко впевнитис€, склавши р≥вн€нн€ (4) та (6).

ѕеретворимо р≥вн≥сть (10) до вигл€ду:

ѕозначивши ц≥ в≥дношенн€ через Ђsї, маЇмо систему:

÷€ система л≥н≥йних однор≥дний р≥вн€нь в≥дносно нев≥домих маЇ розвТ€зки, в≥дм≥нн≥ в≥д нульових (нульових розвТ€зк≥в у системи немаЇ, так €к одночасно не можуть бути нул€ми) при умов≥, що визначник дор≥внюЇ нулю, тобто:

або в розгорнутому вигл€д≥:

÷е р≥вн€нн€ називаЇтьс€ характеристичним.

…ого дискрим≥нант

«начить, р≥вн€нн€ (18) маЇ д≥йсн≥ корен≥ . ¬з€вши один ≥з них, наприклад , можна з р≥вн€нь

або

знайти - кут повороту осей координат

якщо вз€ти значенн€ корен€ , то отримаЇмо:

ѕокажемо, що напр€ми взаЇмно перпендикул€рн≥; дл€ цього знайдемо:

«а теоремою ¬≥Їтта дл€ р≥вн€нн€

,

ось чому

«а теоремою ¬≥Їтта дл€ р≥вн€нн€ маЇмо: ,

а так €к то

“епер не важко п≥драхувати коеф≥ц≥Їнти

јле так €к задовольн€ють р≥вн€нн€м ,

то

≤з р≥вност≥ (20) отримуЇмо, що

–≥вн€нн€ (14) можна тепер записати в наступному вигл€д≥:

ѕриклад 2.

—прост≥ть р≥вн€нн€ (зв≥льн≥тьс€ в≥д члену з добутком ху):

–озвТ€зок.

1) —кладемо характеристичне р≥вн€нн€:

–озвТ€зуючи р≥вн€нн€, знаходимо:

2) «найдемо кут повороту осей координат:

3) —кладемо формули перетворенн€ повороту осей координат:

4) ѕеретворимо л≥н≥йну частину даного р≥вн€нн€:

5) –≥вн€нн€ л≥н≥њ в нов≥й систем≥ координат матиме вигл€д:

¬права. «в≥льнитис€ в≥д члена з добутком ху у р≥вн€нн≥ кривоњ:





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-09-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1188 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинать всегда стоит с того, что сеет сомнени€. © Ѕорис —тругацкий
==> читать все изречени€...

2122 - | 1893 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.