Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—прощенн€ р≥вн€нн€ кривоњ другого пор€дку шл€хом переносу початку координат




“ак €к коеф≥ц≥Їнти р≥вн€нн€

ќбчислюютьс€ через коеф≥ц≥Їнти вих≥дного р≥вн€нн€ то можлив≥ три принципово нов≥ випадки, у в≥дпов≥дност≥ з €кими вс≥ крив≥ другого пор€дку розбиваютьс€ на л≥н≥њ трьох тип≥в.

≤ тип Ц коеф≥ц≥Їнти при квадратах обох зм≥нних у р≥вн€нн≥ (1) в≥дм≥нн≥ в≥д нул€:

≤≤ тип Ц один ≥з коеф≥ц≥Їнт≥в при квадратах зм≥нних р≥вний нулю, але коеф≥ц≥Їнт при першому степен≥ т≥Їњ же зм≥нноњ в≥дм≥нний в≥д нул€, наприклад:

≤≤≤ тип - один ≥з коеф≥ц≥Їнт≥в при квадратах зм≥нних р≥вний нулю ≥ коеф≥ц≥Їнт при першому степен≥ т≥Їњ же зм≥нноњ також дор≥внюЇ нулю, наприклад:

–озгл€немо спрощенн€ кривоњ кожного типу окремо:

1.  рив≥ першого типу. якщо р≥вн€нн€ кривоњ матиме вигл€д:

√рупуючи члени з однойменними зм≥нними та доповнюючи ц≥ групи до повних квадрат≥в, маЇмо:

ѕозначимо вирази в дужках через нов≥ зм≥нн≥:

що р≥вносильне перенесенню початку координат у точку

–≥вн€нн€ (1) набираЇ вигл€ду:

ƒосл≥димо, €к≥ геометричн≥ образи будуть в≥дпов≥дати р≥вн€нню виду (2) при р≥зних значенн€х коеф≥ц≥Їнт≥в

а) Ќехай одного знаку; тод≥ р≥вн€нн€ (2) можна звести до канон≥чного вигл€ду:

 рива, €ка в≥дпов≥даЇ р≥вн€нню (3), а, значить, ≥ р≥вн€нню (2), це д≥йсний ел≥пс.

б) Ќехай одного знаку, ј- протилежного њм, тод≥ р≥вн€нн€ (2) можна звести до канон≥чного вигл€ду:

 риву, €ка в≥дпов≥даЇ р≥вн€нню (4), а, значить, ≥ р≥вн€нню (1), називатимемо у€вним ел≥псом, так €к р≥вн€нн€ (4) не задовольн€Їтьс€ д≥йсними значенн€ми х та у.

в) Ќехай р≥зних знак≥в, знак ј будь-€кий; тод≥ р≥вн€нн€ (2) можна звести до канон≥чного вигл€ду:

 рива, €ка в≥дпов≥даЇ р≥вн€нню (5), а, значить, ≥ р≥вн€нню (1), буде г≥перболою з д≥йсною в≥ссю , €кщо (+1) стоњть з правого боку, ≥накше , €кщо (-1).

г) Ќехай одного знаку ≥ ј=0; тод≥ р≥вн€нн€ (2) можна звести до канон≥чного вигл€ду:

÷е р≥вн€нн€ задовольн€Їтьс€ одн≥Їю парою д≥йсних значень ’=0,Y=0; таким чином, геометричним образом, €кий в≥дпов≥даЇ р≥вн€нню (6) ≥, значить, р≥вн€нню (1), буде точка.

д) Ќехай р≥зних знак≥в ≥ ј=0; тод≥ р≥вн€нн€ (2) можна звести до канон≥чного вигл€ду:

Ћ≥ва частина цього р≥вн€нн€ розкладаютьс€ на л≥н≥йн≥ множники ≥ р≥вн€нн€ (7) розпадаЇтьс€ на два л≥н≥йних р≥вн€нн€:

√еометричний образ, €кий в≥дпов≥даЇ цьому р≥вн€нню (7),а, значить, ≥ р≥вн€нню (1), буде складатис€ з двох пр€мих, що перетинаютьс€ (8).

2.  рив≥ другого типу. якщо , то р≥вн€нн€ (1) набираЇ вигл€ду:

√рупуючи члени з однойменними зм≥нними та доповнюючи групи до повних квадрат≥в, маЇмо:

ѕозначимо вирази в дужках через нов≥ зм≥нн≥:

що р≥вносильне перенесенню початку координат в точку

“од≥ р≥вн€нн€ (9) набере вигл€ду:

 

–озвТ€зуючи це р≥вн€нн€ в≥дносно Y2, зводимо його до канон≥чного вигл€ду:

 ривою, що в≥дпов≥даЇ р≥вн€нню (11), а, значить, ≥ р≥вн€нню (9), буде парабола.

3.  рив≥ третього типу. якщо , то р≥вн€нн€ (1) набираЇ вигл€ду:

ѕеретворенн€м перенесенн€ початку координат це р≥вн€нн€ можна звести до вигл€ду:

–озвТ€зуючи це р≥вн€нн€ в≥дносно Y2,отримуЇмо р≥вн€нн€ виду:

а) Ќехай ,тобто р≥вн€нн€ маЇ вигл€д:

¬ цьому випадку геометричний образ, €кий в≥дпов≥даЇ цьому р≥вн€нню, буде складатис€ з двох паралельних пр€мих:

б) Ќехай

¬ цьому випадку обидв≥ пр€м≥ сп≥впадають ≥ геометричний образ, €кий в≥дпов≥даЇ р≥вн€нню (12), складатиметьс€ з двох пр€мих, що сп≥впадають:

Y=0, та Y=0.

в) Ќехай ¬ цьому випадку р≥вн€нн€ (13) маЇ вигл€д:

та образ, €кий в≥дпов≥даЇ р≥вн€нню (13), а значить, ≥ р≥вн€нню (12), називатимемо у€вними паралельними пр€мими:

ƒосл≥дивши ус≥ можлив≥, принципово р≥зн≥ комб≥нац≥њ значень та знак≥в коеф≥ц≥Їнт≥в р≥вн€нн€ (1), ми розвТ€зали першу задачу загальноњ теор≥њ, а точн≥ше, встановили ус≥ можлив≥ л≥н≥њ другого пор€дку.

ƒосл≥дженн€ показало, що ≥снують девТ€ть р≥зних клас≥в л≥н≥й другого пор€дку (див. зв≥дну таблицю ≤).

—пос≥б спрощенн€ загального р≥вн€нн€ шл€хом перетворенн€ координат даЇ можлив≥сть побудувати л≥н≥ю за њњ загальним р≥вн€нн€м в початков≥й систем≥ координат.

ѕриклад 1. —простити р≥вн€нн€

“а побудувати в≥дпов≥дну йому л≥н≥ю, збер≥гаючи початкову систему координат.

–озвТ€занн€. —кладемо характеристичне р≥вн€нн€:

–озвТ€завши його, матимемо: s1=16, s2=-9.

2. «найдемо кут повороту осей координат:

3. —кладемо формули перетворенн€ повороту осей координат:

4. ѕеретворимо л≥н≥йну частину даного р≥вн€нн€:

5. –≥вн€нн€ л≥н≥њ п≥сл€ повороту осей координат набере вигл€ду:

6. ѕеретворимо дане р≥вн€нн€ групуючи члени та доповнюючи њх до повних квадрат≥в до вигл€ду:

тобто перенос€чи початок координат в точку в≥дносно повернутоњ системи координат, перетворимо р≥вн€нн€ л≥н≥њ в≥дносно новоњ системи координат до вигл€ду:

7. «ведемо це р≥вн€нн€ до канон≥чного вигл€ду:

8. ѕобудуЇмо криву (мал.2).

ѕрим≥тка. ѕри вибор≥ позитивного напр€му новоњ ос≥ потр≥бно керуватис€ знаками

 

 

ћал.2.


ѕриклад 2. «вести р≥вн€нн€ л≥н≥њ

до найпрост≥шого вигл€ду та побудувати њњ.

–озвТ€занн€. 1. —кладемо та розвТ€жемо характеристичне р≥вн€нн€:

2. «найдемо кут повороту осей координат:

3. —кладемо формули повороту осей координат:

4. ѕеретворимо л≥н≥йну частину даного р≥вн€нн€:

5. –≥вн€нн€ л≥н≥њ п≥сл€ повороту осей координат матиме вигл€д:

6. ѕеретворимо це р≥вн€нн€ до вигл€ду, групуючи члени та доповнюючи њх до повних квадрат≥в:

 

ѕозначивши дужки

тобто, перенос€чи початок координат в точку

приведемо р≥вн€нн€ до вигл€ду:

ћал.3.

7. ЅудуЇмо криву (мал.3).

ѕриклад 3. ѕривести р≥вн€нн€ кривоњ

до найпрост≥шого вигл€ду.

–озвТ€занн€. 1)

2)

3) ѕ≥сл€ перетворенн€ р≥вн€нн€ набираЇ вигл€ду:

4) ѕеренесемо початок координат в точку

–≥вн€нн€ л≥н≥њ в нов≥й систем≥ координат набираЇ вигл€ду:

“аким чином, заданою кривою буде пара пр€мих, що перетинаютьс€.

5) ѕобудуЇмо ц≥ пр€м≥ (мал.4).

ћал.4

 

¬прави. —простити наступн≥ р≥вн€нн€ другого пор€дку та побудувати в≥дпов≥дн≥ њм крив≥, збер≥гаючи при цьому початкову систему координат:

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-09-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2388 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—лабые люди всю жизнь стараютс€ быть не хуже других. —ильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Ѕорис јкунин
==> читать все изречени€...

2006 - | 1939 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.026 с.