Изготовление рёберно-сетчатых моделей не является самоцелью. Они рассматриваются в составе наглядно - методического обеспечения наряду с работой «от руки» или в компьютерной графике. Для того, чтобы обучающийся студент проявлял значительный интерес к моделированию пространственных структур, то в его распоряжении, как показывает опыт, должен быть набор наглядно - методических средств.
Пространство рёберно-сетчатых моделей создаёт условия для построения трёхмерно - иллюзорных образов «от руки» или в доступных компьютерных программах. Их наглядность позволяет определять структуру многогранного макета, или вид моделей в компьютерной графике (рис. 53 – 62). Варианты макетов представлены в ПРИЛОЖЕНИИ (рис. 63 - 93).
Приведём несколько графических образцов, полученных способом компьютерной графики с помощью программного приложения Autodesk 3Ds MAX (рис 53-62), выполненные студенткой 5 курса Шишовой М.
Рисунок 53 - графическая модель додекаэдра, оформленная изнутри системой линий.
Рис. 53.
Рисунок 54 - графическая модель последовательного добавления боковых рёбер антипризмы. Их боковые рёбра формируют систему линий внутри рёберной модели додекаэдра. Основания антипризм - грани многогранника.
Рис. 54.
Рисунок 55 - графическая модель взаимопроникающихся двух и трёх пятиугольных антипризм додекаэдра.
Рисунок 56 - графическая модель последовательного наращивания пересекающихся плоскостей в антипризме. Можно обнаружить, что каждая плоскость проходит через параллельные пары боковых рёбер антипризмы и пары сторон её оснований. Прямоугольники, лежащие в этих плоскостей - «золотые» прямоугольники.
Рис. 55.
Рис. 56.
Рис. 56.
Рисунки 57, 58 - графические модели демонстрируют прибавление к граням додекаэдра новых отсеков пространства. Они образуются в результате продолжения тридцати рёбер многогранника. Продолженные рёбра замыкают пентаграммы, стороны которых пересекаются между собой. В результате образуются «золотые» пятиугольные пирамиды. Они формируют в трёхмерном пространстве малый звёздчатый додекаэдр.
Рис. 57. Рис. 58.
Рисунок 59 - графическая модель демонстрирует положение плоскостей «золотых» прямоугольников, относящихся к икосаэдру. Его составляют десять треугольных антипризм. Их боковые рёбра - большие стороны «золотых» прямоугольников, а малые стороны - рёбра икосаэдра.
Рис. 59.
Рисунок 60 - графическая модель представляет схему трёхмерной фигуры, состоящей из двух и трёх взаимопроникающихся треугольных антипризм. Они объединяются между собой и формируют систему линий внутри рёберного икосаэдра.
Рис. 60.
Рисунок 61 - графическая модель икосаэдра, изнутри оформленная линиями (рёбрами). Рёбра десяти треугольных антипризм на диагональных плоскостях формируют пентаграммы (пятиугольные звёзды).
Рисунок 62 - графическая модель большого звёздчатого додекаэдра. Напомним, что разбиением внутреннего пространства икосаэдра соответствующими плоскостями, ограничивается двойственный додекаэдр. Фигура большого звёздчатого додекаэдра - результат продолжения рёбер додекаэдра изнутри икосаэдра.
Рис. 61. Рис. 62.
От чертежа до макета
В процессе моделирования геометрических фигур по принципу продолжения, у студента, естественно, возникают важные вопросы. Как, например, самостоятельно руководствоваться моночертежем? Как находить для n-угольных фигур пропорциональные, им другие фигуры? Можно ли предвидеть очертания конфигураций трёхмерных отсеков?
В популярной книге М. Веннинджера «Модели многогранников» даётся подробное описание построения макетов звёздчатых многогранников. Перечисляются необходимые указания, относящиеся к тому или иному действию - от создания чертежей до сборки деталей макета. Автор любезно делится своим опытом и даёт полезные советы, от которых зависит результат работы: аккуратное выполнение чертежа, определение размера будущей модели, создание трафаретов, копий, расцветок, корректировка заготовок и т.д.
Однако, механизм построения и «прочтения» специальных (проективографических) чертежей различной сложности, а также выбор по ним двухмерных элементов для формирования трёхмерной конструкции объекта, в большинстве своём, остаются малодоступным занятием. На это указывает то обстоятельство, что в практику учебного макетирования слабо проникают геометрические структуры, основанные на принципе идеи Кеплера - продолжения многогранников.
В отечественных публикациях описывается способ построения такого вида чертежей, и рекомендуются приёмы выбора конструктивных элементов с помощью специальных точек - «полюсов» (2, 3). Этот механизм содержит определённое нагромождение геометрических операций и, представляется действенным инструментом для профессиональных геометров, занимающихся этой темой.
Остаётся надеяться, что наиболее успешным способом, с точки зрения, его практического применения в учебном макетировании, будет формироваться тот способ, который объединит в себе двухмерную и трёхмерную наглядность в единое целое.
Отметим, что в двухмерном пространстве чертежей, например, точки, через которые проходят оси симметрии n-порядков, остаются опорными для определения количественной стороны конструктивных элементов. А трёхмерная рёберно-сетчатая модель помогает обеспечивать визуальную связь двух пространств.
Точки пресечения следов продолжений на чертеже - это точки, через которые в трёхмерном пространстве многогранника, проходят оси симметрии n-порядков. На двухмерной проекции определяется число n-угольных фигур, сбегающихся в точках (вершинах). Их число соответствует числовому значению осей или его удвоению. Например, в точках, через которые проходят оси симметрии второго порядка, соединяются по две, четыре фигуры. В точках осей симметрии третьего порядка соединяются три, шесть, двенадцать фигур, а в точках осей пятого порядка - по пять, десять и т.д.
Оси симметрии лежат в двухмерной плоскости проекции, равно как следы продолженных плоскостей граней n-гранника, а в трёхмерном пространстве они пересекаются в центре многогранника.
Рассмотрим моночертёж (ПРИЛОЖЕНИЕ, рис. 109). На его биссектрисах лежат точки пересечения следов продолжений. По ним определяются соединяющиеся между собой стороны n- угольников. По желанию с точек, как из центров окружностей, проводятся вспомогательные дуги. Они засекаются в вершинах продолжений и определяется количество фигур, сбегающихся в соответствующих точках. На проекции различными цветами отмечены точки, через которые проходят оси симметрии n-порядка. Например, через точки, отмеченные красным цветом, проходят оси симметрии второго порядка. Через точки, окрашенные зелёным цветом, проходят оси симметрии третьего порядка. Через точки, окрашенные синим цветом, проходят оси симметрии пятого порядка. На рисунке вверху изображен макет звёздчатой формы икосаэдра. На рисунке внизу n-угольные фигуры, формирующие данный многогранник, окрашены красным и желтым цветами.
На рисунке представлены две развёртки: розетка (рис. б) и шестиугольная пирамида (рис. в). Число розеток всего двенадцать, а пирамид - двадцать, что соответствует симметрии двойственной пары икосаэдра и додекаэдра.
Через пары противоположных вершин шестиугольных пирамид проходят оси симметрии третьего порядка. Через пары противоположных розеток, ориентируемых вершинами внутрь звёздчатого многогранника, проходят оси пятого порядка. Розетки окружены «кольцеобразно» пятью парами, симметрично объединённых между собой, мелких треугольников. Если вращать многогранник вдоль экваториальной плоскости сечения, то на линии предполагаемой окружности, обнаруживаются чередующиеся двенадцать точек. Через них проходят оси симметрии соответствующих порядков.
Возьмём в качестве отправной группы осей симметрии порядки - два, три и пять. Следующая группа - порядки два, пять и три. Далее последовательность порядков повторяется: два, три, пять; два, пять, три.
Нет необходимости подчеркивать значение геометрии в структуре морфологии вещи, а, следовательно, и её эстетических свойств. Признанный учебник Кимберли Элама «Геометрия дизайна» завершается важными мыслями: «Во многих учебных заведениях на факультетах искусств изучение геометрического построения начинается и заканчивается обсуждением золотого сечения на примере Парфенона в курсе истории искусств. Отчасти такое положение вещей является следствием традиционно сложившегося разделения дисциплин». Отмечая, сложившееся разделение учебных дисциплин, Элам продолжает: «Пересекающиеся предметные области зачастую игнорируются, и студенту приходится самостоятельно устанавливать связи» (7, с. 103).
Предложения в нашем исследовании носят всего лишь рекомендательную роль и ориентированы на ознакомление студентов с процессом моделирования геометрических образов. Способ многогранных продолжений, как нельзя лучше отвечает вопросам пропорциональной гармонизации трёхмерного объекта. Это является ценным методическим продуктом для активного привлечения студентов к вопросам пропорциональных и других систем в художественно-образном моделировании.
