Равносторонний пятиугольник

Равносторонний пятиугольник часто встречается в структуре двойственной пары икосаэдра и додекаэдра. При построении данного многоугольника, в частности, «от руки» - с помощью циркуля и линейки, часто возникает заметная погрешность в размерах его сторон. Например, при делении окружности на пять равных частей геометрическим способом, или с применением коэффициента (l=dk), хорды не всегда согласуются размерами.

Каждый способ построения равностороннего пятиугольника по – своему уникален. Проще всего строить n-угольники, если использовать компьютер, например, программное приложение Corel DRAW. Следует лишь открыть меню объект, выбрать инструмент многоугольник (пятиугольник), щелкнуть и перетащить курсор в требуемое место - в окно рисования, определив нужный размер фигуры. Удерживанием нажатой клавиши Ctrl получают изображение равностороннего многоугольника. Чтобы задать число сторон или вершин при выборе многоугольника, то на соответствующей панели вводиться значение в поле число вершин или сторон многоугольника.

При создании развёрток для трёхмерного макетирования, не исключаются различные способы n-угольных фигур, в том числе и способ «от руки». Для получения равностороннего пятиугольника применим метод динамического прямоугольника .

Правильный пятиугольник закономерно разбивается собственными диагоналями, построение которых дают пентаграмму - пятиугольную звезду. Её центром является пятиугольник. Его вершины - точки сторон пентаграммы. Каждая точка делит соответствующую сторону пятиконечной звезды на два пропорциональных отрезка. Известно, что отношение более длинного отрезка к меньшему равно примерно 1. 618: 1, что прямо относится к «золотому сечению».

На рисунке 37 а изображен прямоугольник ABCD. Его составляют два квадрата. Диагонали равны - гипотенузы прямоугольных треугольников.

На рисунке 37 б изображена схема построения двух прямоугольников на основе диагоналей DF и СF соответствующих квадратов. Получен пропорциональный прямоугольник NPCD.

Пересечение диагоналей дают точку H - вершину строящегося пятиугольника, а также две его стороны HC, HD и его диагональ CD (рис. 37 в).

На рисунке 38 а изображена схема построения остальных сторон пятиугольника с помощью пересечения дополнительных дуг из точек C и D как из центров окружностей.

На диагонали CD (рис. 38 б) две дуги задают точки 4, 5. Они делят диагональ пятиугольника в соответствии с «золотыми» пропорциями. На этой схеме выделены три фигуры, имеющие прямое отношение к двенадцатиграннику - додекаэдру. Фигура HCLKD - его пятиугольная грань, фигуры MRCD и SCD - n -угольники, ограничивающие малые диагональные плоскости сечения додекаэдра. На плоскости равностороннего треугольника SCD отражены следы продолжений двойственного икосаэдра.

Предложенные схемы пошагового построения правильного пятиугольника приводят нас к рёберно-сетчатым моделям двойственной пары - икосаэдра и додекаэдра. На схеме (ПРИЛОЖЕНИЕ, рис. 80) представлен моночертёж. То есть изображение многоугольных фигур, которые ограничивают диагональные плоскости сечения рёберно-сетчатой модели двойственной пары правильных многогранников.

 

Рис. 37.

 

 

 

 

Рис. 38.

Фигуры продолжений

Понимание принципа продолжения плоскостей граней и способа построения чертежей (эпюр), гарантируют успешное овладение приёмами формообразования, например, звёздчатых многогранников. Каждый правильный (равногранный) и полуправильный (неравногранный) многогранники имеют соответственно равные образующие рёбра. В отличие от платоновых, грани архимедовых тел, неравны между собой. Их грани, равносторонние n-угольники, отличаются своими размерами (рис. 1, фигуры 10 - 23).

Известно, что любые платоновы и архимедовы многогранники можно разместить внутри сферы. Их центры, полученные в результате пересечения осей симметрии, совпадают с центром сферы. Это обстоятельство важно учитывать при определении размера звёздчатых многогранников. Важно и то, что размеры первой и последующих форм, полученных продолжениями, будут отличаться в сторону их увеличения. С методической точки зрения, в качестве наглядного материала, полезно иметь «цепочку» макетов, последовательно сменяющихся пространственных форм.

На рисунке 39 моночертёж икосаэдра. На нём отмечены вершины a, b, c, d, e, f, совпадающие с малой окружностью. Через них в трёхмерном пространстве проходят оси симметрии второго порядка.

 

Рис. 39.

Плоские фигуры, заштрихованные внутри окружности, образуют в трёхмерном пространстве четырёхгранные углы. Они объединяются в звёздчатую форму - соединение пяти октаэдров, рис. 40(4).

Следующая средняя окружность пересекает точки 1-6. Эти точки являются вершинами известных звёздчатых многогранников: третья, седьмая и девятая формы икосаэдра (4). На рисунке 41 представлена звёздчатая форма под названием «соединение десяти тетраэдров».

 

Рис. 40. Рис. 41.

В центре чертежа (рис. 39) расположен равносторонний треугольник - одна из двадцати граней икосаэдра. К его сторонам примыкают равнобедренные треугольники, которые в трёхмерном пространстве объединяются в трёхгранные углы. Эти углы образуют треугольные пирамиды. Основания пирамид совпадают с гранями многогранника и составляют первую звёздчатую форму икосаэдра, рис. 42 (4).

 

Рис. 42.. Рис. 43.

Внешняя большая окружность (рис. 39) пересекает точки A, B, C. Это вершины нескольких звёздчатых образований, в которых сбегаются грани звёздчатой формы. Плоские элементы, образующие выпукло – вогнутую конструкцию десятигранного угла, заштрихованы по всему периметру равностороннего треугольника ABC. Двенадцать таких конструкций можно располагать, подобно «конструктору», на гранях додекаэдра и закреплять с помощью клея. В результате такого оформления сформируется звёздчатая форма большого икосаэдра (4). Эту форму связывают с именами Кеплера-Пуансо (рис. 43).

Чтобы извлечь из моночертежа необходимые конструктивные элементы трёхмерных образований, можно предварительно на макете многогранника пронумеровать грани и отметить их на графической схеме (графе) групп симметрических плоскостей (рис. 44).

 

 

Рис. 44.

В совокупности такие наглядные модели позволяют, в какой мере, контролировать порядок продолженных плоскостей граней на плоском поле чертежа и в пространстве. Включая в этот процесс рёберно-сетчатые модели, возможно значительно успешнее осваивать структуру трёхмерного продолжения.

В процессе создания развёрток отпадает необходимость осуществлять расчеты параметров плоских элементов (n-угольных отсеков) на поле моночертежа. Его двухмерная проекция содержит натуральную метрическую информацию плоских геометрических фигур. Следы разнонаправленных продолженных плоскостей многогранника пересекаются между собой на плоскости чертежа. Иногда равногранник называют ядром.

Рассмотрим симметричные группы плоскостей икосаэдра. На графе (рис. 44) отмечены номера граней. В центре графа расположен равносторонний треугольник - условная грань

икосаэдра. Диаметрально противоположная параллельная ей грань на схеме не изображена. Две окружности, вокруг центрального треугольника, показаны сплошными толстыми линиями. Они ограничивают номера видимых граней на макете икосаэдра, если смотреть на него сверху со стороны грани. Третья и четвёртая окружности ограничивают номера невидимых граней. Они изображены тонкими линиями. Оси симметрии проходят через вершины и срединные точки на сторонах треугольника. По номерам, относящихся к той или иной окружности, определяется число граней (плоскостей), входящих в соответствующую симметричную группу.

Первая группа - номера 1.2.3; вторая группа - 4.5.6.7. 8. 9; третья группа - 10.11.12.13.14.15; четвёртая группа - 16.17.18. Стрелки указывают переход с одной окружности на другую.

Число плоскостей симметричной группы соотносится с числом следов на двухмерном поле моночертежа. Следами плоскостей первой симметричной группы являются отрезки 1.4; 2.5; 3.6. Следы плоскостей второй симметричной группы - отрезки 1.3; 3.5; 1.5; 2.6; 2.4; 4.6. Следы плоскостей третьей симметричной группы - отрезки A4; A5; B2; B3; С1; C6. Следы плоскостей четвёртой симметричной группы - отрезки AC; BC; AB (рис.39).

 

Построение моночертежа

Процесс продолжения граней многогранников приводит к многообразию пространственных форм. Этой теме уделялось большое внимание исследователями (4, с.228, 229). Стали доступными результаты математических открытий в области классификации многогранных тел. Особое место занимают звёздчатые многогранники.

Создавая макеты звёздчатых структур, студенты часто сталкиваются с неудовлетворяющими результатами относительно точного построения моночертежа. Чертёж является отображением плоскости, на которой все другие плоскости продолженных граней многогранника, остаются следами.

Прежде чем ознакомиться с построением моночертежа, обратимся к тезису из книги «Проективография» автора В. Гамаюнова, где он даёт пояснение способу продолжения многогранников: «Используя принцип Кеплера-Пуансо, т.е. принцип упорядоченности рубки пространства плоскостями, мы приходим к самым богатым пространственным структурам, состоящим из самых разнообразных кирпичиков. Особая универсальность такой структуры заключается в том, что каждая её образующая плоскость или структурный срез может быть принят за плоскость чертежа, представляющий собой кибернетический код всех других образующих плоскостей структуры» (2, с. 18). Этот тезис подчеркивает внешнюю природу структурных образований, что соответствует известному принципу «упорядоченности рубки пространства». Продолжением плоскостей граней многогранника («ядра») - определяется многообразие форм.

Касаясь внутренней структуры многогранников (секущих плоскостей), автор книги «Модели многогранников» М.Веннинджер излагает: «37 многоранников обнаружил Бадуро (1881), систематически исследовавший каждое из платоновых и архимедовых тел, с целью найти правильные многогранники или правильные звёзды среди сечений этих тел» (4, с. 114).

Делая акцент на секущих плоскостях многогранных тел, можно подчеркнуть, что предложенные нами рёберно-сетчатые модели отражают принцип рубки пространства.

С помощью графа (рис. 44) и его описания прослеживается распределение восемнадцати следов продолженных плоскостей (рис. 45).

Рассмотрим геометрический порядок построения моночертежа, часто изображаемого на страницах данного материала. На рисунке 45 моночертёж с ограниченным продолжением следов плоскостей граней в пределах большого треугольника ABC. Напомним, что три его стороны - следы одной из четырёх симметричных групп плоскостей граней икосаэдра. Построение сводится к простым графическим операциям. Задаётся окружность свободным радиусом и делением её на шесть частей. Выделяется равносторонний треугольник ABC по трём точкам деления окружности. На стороне BC строятся два перпендикуляра - BD и CE, которые проходят через свободные точки деления окружности. Через точку A треугольника проводится горизонтальная прямая линия. Замыкаются стороны, образующие прямоугольник BDEC, в который вписан треугольник ABC. Прямоугольник разбивается сеткой, состоящей из двенадцати ячеек. Порядок построения сетки легко определяется на представленном чертеже.

 

 

 

Рис. 45.

Через центр большого треугольника проводятся три биссектрисы, которые соединяют вершины A, B, C со свободными точками деления окружности.

На данной стадии геометрического построения все точки, необходимые для выполнения горизонтальных и вертикальных линий сетки, имеются на чертеже. Три стороны (следы) треугольника ABC пересекаются с пятнадцатью следами остальных трёх групп симметрических плоскостей. Для этого на каждой стороне данного треугольника устанавливаются по две точки, каждая из которых делит сторону в отношении «золотого сечения». Например, отношение линии AB (рис. 45) к отрезку A6 равно «золотым» пропорциям.

Из точек A, B, C, как из центров, радиусом AF или AG на сторонах большого треугольника засекаются искомые точки 1.6; 2.3; 3.4; 4.5. Установленные точки на сторонах большого треугольника соединяются между собой отрезками прямых. Образование двух равносторонних треугольников получаются соединением между собой нечетных (1. 3. 5), а затем четных (2. 4. 6) точек. Тремя парами прямых линий соединяются вершинные точки A, B, C с точками, лежащими на противоположных сторонах треугольника. На чертеже прямые линии проводятся параллельно сторонам AB, AC, BC, через пары точек 1.4; 2.5 и 3.6. В результате несложных геометрических построений, получается чертёж, который называется «шаблон» (4) или «моночертеж» (2).

Завершающее продолжение

На рисунке 46 изображен чертёж завершающего продолжения икосаэдра. Следы его продолженных плоскостей за пределами внешней окружности, не пересекаются, сколько бы их не продолжали. Конечные отсеки рубки пространства плоскостями на моночертеже заштрихованы. Они считаются завершающими и образуют звёздчатую форму икосаэдра (4, с.110).

 

 

Рис. 46.

 

На изображении отсутствуют обозначения в сравнении с предыдущим рисунком 45. Чертёж «в чистом» виде позволяет воспринимать плоские элементы отсеков более отчетливо. Это особенно важно при тиражировании n-угольников моночертежа. Способ перекалывания их иглой на заготовку в процессе макетирования, позволяет получать плоские элементы для развёрток.

Чтобы построить чертёж завершающего продолжения икосаэдра, достаточно продлить все линии (следы) за пределы треугольника ABC до их пересечения (рис. 45). Заметим, что часть линий будут расходиться, а часть пересекутся между собой. За пределами точек пересечения все восемнадцать линий (следов) будут расходиться параллельными парами. Такое продление следов на чертеже (рис.45) не гарантирует исключение погрешности плоских фигур конструируемого макета.

Рассмотрим рисунок 46. Для его построения, как и прежде, используется деление окружности на шесть частей, а также простые приёмы геометрических построений. С помощью раствора циркуля, равного радиусу окружности, выполняется такой способ деления.

Для деления окружности на любое число равных частей применяется простая формула: l=dk, где l - длина хорды, d - диаметр заданной окружности и k - коэффициент. Например, для деления окружности на пять равных частей коэффициент составляет 0, 58779, а на шесть - 0,50000 и т.д.

На рисунке 46 конечные вершины плоских элементов, завершающего продолжения, принадлежат внешней окружности. Как и на предыдущем рисунке 45 по точкам деления строится большой равносторонний треугольник. Через центр окружности и вершины треугольника проводятся биссектрисы. Они пересекаются с его сторонами и окружностью. Полученные точки на сторонах большого треугольника попарно соединяются прямыми линиями, продолженными до пересечения с внешней окружностью. Через вершины малого равностороннего треугольника проходит внутренняя окружность. На сторонах малого треугольника выстраиваются по две точки на основе прямоугольной сетки, способом, который был описан (рис. 45). Эти точки могут устанавливаться по-иному. Для этого соединяется каждая вершинная точка большого треугольника с парами противоположных точек на большой окружности, которые дают продолженные стороны малого треугольника. Построенные таким способом линии, пересекаются со сторонами малого треугольника и образуют искомые точки деления.

 

Дальнейшее построение следов продолженных плоскостей выполняется с учетом описания к рисунку 45.

Опишем еще один способ как можно выбирать точки деления сторон треугольника на чертеже икосаэдра. На изображении (рис. 47) представлен чертёж, точки деления у которого, получены методом прямоугольного треугольника. Во-первых, строится прямоугольный треугольник с отношениями сторон 1:2, и равносторонний треугольник ABC.

 

 

Рис. 47.

Во-вторых, проводится дуга из точки D как из центра окружности радиусом DB до пересечения с гипотенузой DC. В- третьих, строится вторая дуга из точки C радиусом CE до пересечения с основанием треугольника. Точка F - точка деления сторон равностороннего треугольника. Отрезком BF из каждой вершины треугольника ABC устанавливаются на его сторонах пары точек: 1.6; 2.3; и 4.5. Три стороны (AB, AC, CB) являются следами одной из симметрических групп продолженных граней икосаэдра. Пятнадцать следов остальных продолжений распределяются на моночертеже в соответствии с описанием к рисункам 45, 46.